C. R., T. XXV, p. 797 (29 novembre

L'Académie nous a chargés, MM. Sturm, Liouville et moi, de lui rendre compte d’un Mémoire de M. de Gasparis, sur la détermination du plan de l'orbite d’un astre, à l’aide d'observations géocentriques. La méthode que l’auteur propose pour résoudre ce problème a beaucoup d’analogie avec celle que Lagrange a donnée dans la Connaissance des Temps pour l’année 1821; et par suite, pour faire comprendre ce qu'il y a de neuf dans le travail de M. de Gasparis, il sera utile de rappeler d’abord en peu de mots la solution de Lagrange.

Les deux inconnues dont Lagrange commence par rechercher les valeurs sont : l'inclinaison de l'orbite de l’astre observé et la longitade du nœud ascendant, ou plutôt deux quantités respectivement égales aux produits qu'on obtient quand on multiplie la tangente de linclinaison par les sinus et cosinus de la longitude du nœud. Lagrange fait voir qu'on peut exprimer facilement, en fonction de ces inconnues et des données fournies par deux observations, l'aire du triangle formé par les deux rayons vecteurs menés du Soleil à l’astre observé, ainsi que la projection de cette aire sur le plan de l’écliptique. En effet, cette projection se trouve représentée par une fraction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur, exprimés en fonction de ces inconnues, sont l’un du premier, l’autre du second degré. De plus, lorsque les deux observations dont il s’agit sont voisines l’une de l’autre, l'aire du triangle formé par les deux rayons vecteurs se confond sensiblement avec l’aire du secteur compris entre les mêmes rayons; et, comme le montre Lagrange, le rapport de ces

deux aires sera très voisin de l'unité, la différence étant une quantité très petite du second ordre, si les différences entre les quantités correspondantes aux deux observations sont considérées comme très petites du premier ordre. Donc, en négligeant les quantités du second ordre, on pourra représenter le secteur lui-même par la fraction rationnelle dont nous avons parlé.

D'autre part, en vertu d’une loi de Képler, le secteur compris entre les deux rayons vecteurs menés du Soleil à l’astre que l’on considère aux époques des deux observations données est le produit d’une constante par l'intervalle de temps compris entre les deux époques. Donc un système de deux observations voisines permet d'exprimer cette constante par une fraction du genre de celle que nous avons ihdiquée; donc trois systèmes composés chacun de deux observations voisines fourniront, pour la même constante, trois valeurs qui, égalées entre elles, produiront deux équations entre les deux inconnues. Il est d’ailleurs aisé de s'assurer que, en éliminant une des inconnues, on arrive à une équation finale du septième degré.

Comme on le voit, la méthode suppose que les intervalles de temps compris entre la première et la seconde observation, entre la troisième et la quatrième, entre la cinquième et la sixième sont très petits. Mais, d’ailleurs, comme Lagrange a soin de le remarquer, les intervalles de temps compris entre la seconde et la troisième, et entre la quatrième et la cinquième, pourront être quelconques; et 1l est même avantageux de les prendre les plus grands que l’on peut, afin que les trois équations soient le plus différentes qu’il est possible.

Pour passer de la méthode de Lagrange à la méthode de M. de Gasparis, il suffit de supposer que les deux derniers intervalles se réduisent à zéro, c’est-à-dire que la troisième observation ne diffère pas de la seconde, ni la cinquième de la quatrième. Alors, les six observations étant réduites à quatre, les trois fractions que l’on égale entre elles deux à deux fournissent deux équations, dont chacune se simplifie, attendu que les dénominateurs de ces fractions offrent des facteurs communs qui peuvent être supprimés sans inconvénient. Après celte

suppression, on obtient seulement deux équations du second degré entre les deux inconnues; et par suite l’équation finale, produite par l'élimination, s’abaisse au quatrième degré.

On serait, au premier abord, tenté de croire que la remarque de Lagrange, ci-dessus rappelée, est un motif suffisant de repousser la solution de M. de Gasparis; et, dans la réalité, cette solution, plus facile à obtenir, sera certainement moins exacte. Il arrivera même assez souvent que beaucoup d'incertitude régnera sur les résultats du calcul appliqué à quatre observations consécutives. Mais rien n'empêche de tirer l’équation du quatrième degré d’une élimination opérée entre les équations qui correspondent à deux groupes composés chacun de trois observations voisines; et, par conséquent, il était utile de remarquer la simplification et l’abaissement de l’équation que fournit un semblable groupe. Fondés sur ces considérations, les Commissaires proposent à l’Académie de voter des remerciments à l'auteur du Mémoire. |

AsrRoNOME. — Note sur l’abaissement que l'on peut faire subir au degré

de l'équation donnée par Lagrange dans la Connaissance des Temps

pour l’année 1821.