C.R., T. XXVI, p. 133 (24 janvier

J'ai cherché dans la dernière séance la valeur qu’il convient d’assigner à l'intervalle compris entre deux observations admises à concourir à la détermination de l'orbite d’un astre. Cet intervalle une fois trouvé, il reste à savoir quelles seront les inconnues dont il conviendra de fixer d’abord les valeurs. Or toutes les méthodes employées pour une première détermination des inconnues introduisent dans le calcul les dérivées des variables, ou du moins leurs valeurs approchées représentées par des rapports de différences relatives à de très petits accroissements du temps; et, comme ces dérivées se calculent avec d'autant moins de précision qu’elles sont d’un ordre plus élevé, il importe de faire en sorte que la solution du problème dépende uniquement, s’il est possible, de formules qui ne renferment que des dérivées ou des différences du premier ordre. Cette condition est remplie pour les formules que Lagrange a données dans le Mémoire de 1780, comme propres à fournir l’inclinaison de l'orbite de l’astre observé avec la longitude du nœud ascendant, à l’aide de trois couples

d'observations qui, prises deux à deux, sont très voisines l’une de l’autre. IT est vrai que les formules de Lagrange sont seulement approximatives; mais on peut les convertir en formules rigoureuses en supposant que deux observations voisines se rapprochent indéfiniment. Alors la formule de laquelle Lagrange est parti se transforme en une équation du second degré entre les trois projections algébriques de l'aire décrite dans l'unité de temps par le rayon vecteur mené du Soleil à l’astre que l’on considère. Il est vrai encore que l'élimination de deux inconnues entre trois équations semblables a conduit Lagrange à une équation finale du septième degré, qui, comme je l'ai fait voir, peut être abaissée au sixième. Mais on évite la résolution de cette équation finale en résolvant simultanément par la méthode linéaire les trois équations qu’elle remplace, après avoir obtenu des valeurs approchées des trois inconnues à l’aide de l'équation linéaire qui existe entre elles. Alors on obtient, pour la détermination d’une orbite quelconque, une méthode simple et facile qui donne immédiatement avec une grande exactitude le demi-paramètre et la position du plan de l'orbite à l’aide des données fournies par quatre observations seulement.

ANALYSE

Soient, au bout du temps 4,

9, 0 la longitude et la latitude géocentriques de l’astre; & la longitude héliocentrique de la Terre; R la distance de la Terre au Soleil.

Soient encôre

H le double de l'aire décrite, dans l’unité de temps, par le rayon vecteur r mené de l’astre au Soleil;

: U, V, W les projections algébriques de cette aire sur les plans des coordonnées, le plan de l’écliptique étant pris pour plan des æ, y;

C l'aire décrite, dans l’unité de temps, par le rayon À.

EXTRAIT N° 396. 469 Posons d’ailleurs, pour abréger, __ cosy ae sin 9 — tang0” — tang0” £ cos — D,u, £sin= D,», M = £ cos(® — I), %—£sin(s—Il), JOIE

En rapprochant indéfiniment deux observations voisines, on réduira la formule de Lagrange à l'équation

(1) (pU+VV+<W)(EU+VV+W—C)=AR(Ucoss + Vsins).

Trois équations semblables à celles-ci détermineront les valeurs des trois inconnues U, V, W. Il est vrai que l'élimination de W et de

W — C fournirait une équation finale du sixième degré en 7 Mais, au lieu de résoudre cette équation finale, on peut appliquer la méthode linéaire à la résolution simultanée des trois équations qui la produisent, après avoir déterminé les valeurs approchées des inconnues à l’aide de l’équation linéaire qui existe entre elles. Si l’on pose,

pour abréger, AUS D,IR mas cot(æ bras H)D,5x,

Bu, D = y —

la lettre 1 indiquant un logarithme hyperbolique, et l'arc & étant exprimé en parties du rayon pris pour unité, l’équation linéaire dont il s’agit sera

(2) QU+QV+W—C—0o.

Par suite, si l’on pose encore

A9 cos® — AP sin D,p A9 — D,vA® ?

pr À |

A®, A9 étant les accroissements de ® et à correspondants à l’accroissement A? du temps #, on aura