HP, QAR

les substitutions diverses qui n’altéreront pas la valeur de la fonction Q, celles-ci formeront toujours un système de substitutions conjuguées, dont l’ordre M sera précisément le nombre des valeurs égales de Q. Quant au nombre »2 des valeurs distinctes de Q, il sera déter-

miné par la formule mM = N,

la valeur de M étant Nirsh air

Concevons maintenant que, M désignant l’ordre d’un certain sys-

tème de substitutions conjuguées (1) PEL PR: FU AAA

on demande une fonction qui possède la double propriété de n'être altérée par aucune de ces substitutions et d'offrir M valeurs égales. On résoudra facilement ce problème en suivant la marche que nous allons indiquer.

Soient

(2) X, Ys 2, les valeurs distinctes qu’on obtient pour une certaine fonction x de n variables æ, y, 3, ..., en lui appliquant les substitutions (1), et supposons cette fonction x tellement choisie que la série (3) PR 1% 10 renferme au moins un terme non compris dans la série (2), quand on prend pour T une substitution non comprise dans la série (1). Enfin, soient | (4) 1, %, ?Q, R, ...

ce que deviennent les substitutions

Hs DR quand on les exprime, non plus à l’aide des variables æ, y, 3, ..., mais à l’aide des variables x, y, z, .... Si l’on prend

EXTRAIT Ne 321. k5

F(x, Y,Z,...) étant une fonction de x, y, Z, ... qui ne soit jamais altérée par aucune des substitutions (4), alors Q, considéré comme fonction de æ, y, z, ..., ne sera pas non plus altéré par aucune des substitutions (1). Donc le nombre des valeurs égales de Q sera # ou un multiple de M. Mais, d’autre part, en désignant par T l’une quelconque des substitutions non comprises dans la suite (1), on tirera de la formule (5)

(6) EM ETIL ENTER A Cela posé, comme des produits LE VAT Le L'ORP UT

l’un au moins sera, dans l'hypothèse admise, distinct de tous les termes que renferme la suite (2), le second membre de l’équation (6) sera généralement distinct de Q, et ne pourra se réduire à Q que dans certains cas spéciaux, c’est-à-dire pour certaines formes particulières de la fonction F(x, y,z,...) [voir la séance du 6 octobre, page 793 (‘)]. Donc la fonction Q, déterminée par l’équation (5), offrira généralement M valeurs égales, et par conséquent le nombre m» de ses valeurs distinctes sera déterminé par la formule mM=N ou LES "à Les conditions auxquelles nous avons supposé que les deux fonctions x et F(x, y,z,...) demeuraient assujetties peuvent être évidemment remplies de diverses manières, dont quelques-unes méritent d’être remarquées; et d’abord, il est clair que la fonction F(x, y,z, ...) ne sera jamais altérée par aucune des substitutions (4), si elle est symétrique par rapport aux variables x, y, z, .... On peut donc prendre, pour second membre de l’équation (5), une fonction symétrique de ces variables, quoique en général on n’y soit pas obligé. En second lieu, tous les termes de la série (3) seront étrangers à la série (2), et, par suite, x remplira la condition précédemment

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, T.IX, p. 337-338.

énoncée, si l’on prend pour x une fonction de æ, y, z, ... choisie arbitrairement parmi celles dont toutes les valeurs sont inégales. Alors la règle que nous venons de tracer pour la détermination d’une fonction Q qui offre M valeurs égales se réduira simplement à la règle que nous avons indiquée dans la séance du 6 octobre dernier.

Au reste, il n’est pas absolument nécessaire de choisir x de telle sorte qu'un ou plusieurs termes de la série (3) deviennent étrangers à la série (2) quand on prend pour T une substitution non comprise dans la série (1). En effet, supposons que cette condition cesse d’être remplie, et qu’en conséquence les termes de la série (3) se confondent avec les termes de la série (2) rangés dans un nouvel ordre quand on prend pour T cértaines substitutions

(7) ; U, +) W, rion comprises dans la série (x). Soient d’ailleurs (8) À, Y, ®,

ce que deviennent les substitutions (7) quand on les exprime, non plus à l’aide des variables æ, y, z, ..., mais à l’aide des variables x, y, Z,.... Si la fonction x est telle que tous les termes de la série (8) soient étrangers à la série (4), alors, pour obtenir une valeur de Q qui offre généralement M valeurs égales, il suffira de recourir à l’équation (5}et de réduire F(x, y, z,...) à une fonction de x, y, z, ,.., qui, n'étant jamais altérée par aucune des substitutions (4), soit, au contraire, toujours altérée par chacune des substitutions (8).

Il importe d'observer que les formules et les calculs auxquels on est conduit par la marche ci-dessus tracée se simplifient quand on prend pour x une fonction de æ, y, 3, ... qui jouit de la propriété de n'être pas altérée par une ou plusieurs des substitutions P, Q, R, ....

Diverses applications des principes exposés dans ce Mémoire formeront le sujet d’un nouvel article.

EXTRAIT Ne 322. u?

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Applications diverses du nouveau caleur dont les principes ont été établis dans la séance nrécédente.