C.R., T. XXII, p. 99 (19 janvier

Considérons z variables diverses +, y, 3, u, », .... Le nombre total N

des arrangements que l’on pourra former avec ces variables sera déterminé par la formule

| oct 2€ De. RES À Soit d’ailleurs s une fonction linéaire de æ, y, 3, ... déterminée par une équation de la forme (1) S—at+by+cz+....

Les diverses valeurs de cette fonction seront toutes égales entre elles, et par suite la fonction sera symétrique, si les coefficients a, b, ce, sont tous égaux entre eux. Si, au contraire, plusieurs coefficients sont inégaux, la fonction s offrira plusieurs valeurs distinctes dont le nombre sera facile à calculer. Enfin, si tous les coefficients sont inégaux, les N valeurs de la fonction s seront toutes distinctes les unes des autres.

‘Concevons maintenant que & étant une racine de l’équation

(2) mt,

on réduise les coefficients

aux divers termes de la suite (3) MM sie UE, La formule (2) donnera

(4) S—=æ2+ay +az+....

Soit d’ailleurs

(5) ds € 2 €: M ES à On aura (6) Ps=y+asz+au+...,

et, par conséquent, (7) Per

puis on en conclura

Psr— (Ps) © œ ou, ce qui revient au même, (8) Prior,

Lorsque « représente une racine primitive de l’équation (2), alors les n termes de la série (3) étant tous inégaux entre eux, la fonction s déterminée par la formule (4) offre N valeurs distinctes. Mais comme, en vertu de la formule (8), s’ représente une fonction qui n’est plus altérée par la substitution P, cette dernière fonction offre évidemment autant de valeurs distinctes qu’il y a d’unités dans le rapport

ee en 2 PS À, D à PR

Concevons à présent que, & étant une racine primitive de l’équa-

tion (2), on élève la fonction s à une puissance quelconque dont le degré / soit un nombre premier à », et désignons par

Apr Li, 0. V,

les diverses fonctions de +, y, 3, u, v, ... qui, dans le développement de s’, se trouvent multipliées par les divers termes de la suite

l 21 30 1, @œ, ot, , ...,

en sorte qu'on ait

On tirera de la formule (7)

Pas (Ps)'= pu

et par conséquent, eu égard à l'équation (9), (10) Ps'= y + az + «lu +....

Or, de la formule (10) comparée à l’équation (9), il résulte évidemment que la substitution P a pour effet de transformer x en y, y en z, zenu,.... Donc, si l’on représente par