PA —@Q

Ce n’est pas tout : si, en nommant r l’un quelconque des nombres premiers à », et p un entier choisi de manière à vérifier la formule

(14) rp=I (mod. ),

on remplace & par af dans le second membre de l'équation (4), on obtiendra une nouvelle valeur de s, qui sera précisément celle à laquelle on parvient quand on substitue aux variables dont les rangs, dans la série

ŒEuvres de C.— S. 1, t. X. 7

celles dont les rangs sont représentés par les nombres FLAN ER,

Donc la nouvelle valeur de s sera précisément celle qu’on obtient quand on applique à s la substitution Q relative aux seules variables

he 29 9

et déterminée par l'équation symbolique

à /P' (15) Q me (p ): D'autre part, comme la substitution Q relative aux seules variables 7,3, .…, et déterminée par la formule (15), produira sur s, et par suite

sur s’, un effet identique avec celui qui résulterait du changement de « en af, on aura, non seulement

(16) QE rats +...

mais encore (17) PPRER PPT EU LS À CPR

Or, de la formule (17), comparée à l'équation (9), on conclura que la substitution Q fait passer à la place des fonctions dont les rangs, dans la série

Ve VAS NÉS

sont représentés par les de CHAN. CARCE: RES CRIPEN celles dont les rangs sont représentés par les nombres Ps a or,

Donc la substitution Q échangera entre eux de la même manière les termes correspondants des deux séries

Jr &, u,

L'AO A ME der

de plage > sit vo ahatier brie,

Er re OS Sc

Fe

AR LAS hr er D ds pren

EXTRAIT No 322, 51 et, si l’on nomme 9 ce que devient la substitution Q exprimée à l’aide de y,z,u,..., 2 se déduira de @ à l’aide d’une équation symbolique semblable à la formule (15); de sorte qu’on aura

(18) tre

x devant conserver la même place dans & et dans &’. Si maintenant on applique la substitution 9 ainsi déterminée à une fonction quelconque Q de x, y, z, ..., on aura identiquement

(19) QG —90.

Comme, en désignant par / un nombre entier quelconque, on tire

de la formule (15) « p'!

l’ordre : de la substitution Q, ou la plus petite valeur de l'propre à vérifier la formule Q'—1, devra évidemment se confondre avec la plus petite valeur de l'propre à vérifier l'équation pr'— P, que l’on peut réduire à ee (mod. »).

Donc, par suite, si r est une racine primitive relative au module », le nombre z devra se confondre avec l'indicateur maximum 7 correspondant à ce module. Dans le cas contraire, : sera un diviseur de Z. D'autre part, comme, en vertu de l'équation (15), le système des puissances de P sera permutable avec le système des puissances de Q, on peut affirmer que les deux substitutions

jointes à leurs dérivées, composeront un système dont l’ordre sera

représenté par le produit ni,

Par suite aussi, a étant un diviseur quelconque de », les deux substitutions

Pe, Q, jointes à leurs dérivées, composeront un système dont l’ordre sera

ni a

Ajoutons que de la formule (13) on tirera immédiatement (20) PaQ — PaQ.

Les formules que nous venons d’établir offrent des expressions très simples des théorèmes fondamentaux sur lesquels s'appuie la résolution des équations binômes. Les équations (13), (19) et (20), en particulier, permettent de construire facilement avec x variables données æ, Y, 3, .. des fonctions pour lesquelles le nombre m» des valeurs distinctes soit déterminé par la formule

à PP RE 8 4 =

(21) mn

étant, ou l'indicateur maximum 7 relatif au module », où un diviseur de Z, et a étant, ou l'unité ou un diviseur de ». D'ailleurs, le mode de formation que fournissent les équations (13), (19) et (20), pour les fonctions dont il s’agit, est différent de celui que nous avons indiqué dans la séance du 6 octobre, et se réduit à la règle que nous allons énoncer.

Pour former avec x variables æ, y, 3, ... une fonction Q qui offre

LORES AU ET (en

valeurs distinctes, à étant un diviseur quelconque de », et x un diviseur quelconque de l'indicateur maximum relatif au module ?, posez

S—=L+ay+es+..., « étant une racine primitive de l'équation

Le Maur E°

ra se RS

Soit d’ailleurs / un quelconque des entiers premiers à », et représen-

tez par Xs . Yr 2

les coefficients de

dans le développement de s’. Soit encore r une racine primitive de

l’équivalence ri=I1 (mod. »),

en sorte que r° représente la plus petite puissance de r, qui, divisée par », donne l'unité pour reste. Pour obtenir une fonction Q de +, y, 3, .… qui remplisse la condition énoncée, 1l suffira de prendre géné-

ralement À Some “ES ER PS APE P

F(x, y,z,...) désignant une fonction de x, y, z, ... qui ne soit jamais altérée, ni par la puissance &* de la substitution

jrs À JO PO ANNE

ni par la substitution

A la vérité, il semblerait au premier abord que cette règle ramène la question proposée à une question entièrement semblable. Car, pour caractériser une fonction Q de æ, y, 3, ... qui offre

valeurs distinctes, il suffit de dire que les substitutions qui n’altèrent pas sa valeur se réduisent aux dérivées de deux substitutions de la

forme For Go. 0 À

et ces deux dernières équations sont semblables à celles qui fournis-

sent les valeurs de ®, 2 exprimées à l’aide des variables x, y, z, ..… Mais il importe d'observer que le nombre des valeurs distinctes de Q, considéré comme fonction de æ, y, 3, ..., restera généralement le même si l’on diminue le nombre des valeurs distinctes de Q considéré comme fonction de x, y, z, ..., et même si l’on réduit ce dernier nombre à l’unité. Donc, en suivant la règle indiquée, on pourra généralement prendre pour F(x, y, z,...) une fonction symétrique des nouvelles variables x, y, z, ....

Au reste, il suit, des principes établis dans la séance précédente, que la règle ci-dessus tracée est comprise comme cas particulier dans une autre règle qui conduit au même but, et que nous allons indiquer.

Pour former avec les n variables æ, y, 3, ... une fonction Q qui offre » valeurs distinctes, la valeur de »2 étant déterminée par la formule (21), posez

PæHte #iR et or r étant une racine primitive de l’équivalence ri= (mod.n); puis construisez une fonction x qui vérifie la condition (22) PRES,

et prenez ensuite Nr R..-),

F(x, y.z,...) désignant une fonction symétrique des variables x, y, z,..., @t Y, Z, ..- étant liées à x par les formules

05%, LEZ O'x La valeur de Q ainsi obtenue, savoir

(23) ; Q = F(x, Qx, Qxs ..., QT x),

satisfera généralement à la question. D'ailleurs, comme, en posant,

pour abréger, (24) C— À )

on tirera de la formule (5)

ilest clair qu’on vérifiera généralement la formule (22) en posant X = S°.

Donc l'équation (23) pourra être réduite à celle-ci

(25) Er Os, Os... QE

la valeur de s étant déterminée par la formule (4), et « étant une racine primitive de l’équation (2).

Si, dans la formule (4), on prenait pour &, non plus une racine primitive de l’équation (2), mais une puissance d’une telle racine, le degré v de cette puissance étant un diviseur de 2, alors il suffirait d’assujettir les nombres a et c à vérifier, non plus la formule (24), mais la suivante

(26) aC=—= —»)

pour que la fonction Q, déterminée par l'équation (25), offrit encore, généralement, »2 valeurs distinctes, la valeur de m» étant toujours donnée par la formule (21).

Dans un autre article, je montrerai comment le nouveau calcul peut être appliqué à la formation de fonctions transitives qui offrent moins de valeurs encore que celles que nous venons de construire, par exemple à la formation de fonctions transitives de six variables qui offrent six valeurs distinctes.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Recherches sur un système d'équations simultanées, dont les unes se deéduisent des autres à l’aide d’une ou de

plusieurs substitutions.