C.R., T. XXII, p.159 (26 janvier

Quelques mots suffiront pour donner une idée de ces recherches, qui seront développées dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique.

Supposons que, 72 étant un nombre entier quelconque et 2 — mx un multiple de #2, les lettres x, y, z, ... représentent »2 fonctions diverses de n variables x, y, 5, u, v, .... Soit, de plus, 1, P, Q, R, ... un système de substitutions conjuguées dont l’ordre soit précisément : — Les 7 variables æ, y, z, u, v, ... seront, en général, complètement déterminées, si on les assujettit à vérifier les 2 équations simultanées

+ Mers tn Pi Otis, TA

(1) bu PY6, Qy—=o, AT

Or les valeurs de æ, y, 3, u, v, ..., qui vérifient des équations de cette forme, jouissent de diverses propriétés remarquables, et, en particulier, de celles que nous allons indiquer.

Supposons que, la variable æ étant comprise dans un facteur circulaire de P, on nomme 2 l’ordre de ce facteur circulaire, et æ,, æ,, ..., æ,, les variables comprises avec x dans ce même facteur. Chacune des valeurs de x fournies par la résolution des équations (1) sera en même temps une valeur de x,, une valeur de æ,, ..., une valeur de æ;,. Cela posé, soit (2) F(æz)}=0 l'équation qui résultera de l'élimination des variables æ, y, 3, u, v, entre les formules (1). Cette équation admettra deux espèces de racines. Les unes vérifieront des conditions de la forme |

(3) LT Li-1;,

l'étant un diviseur de 2; les autres ne satisferont à aucune semblable condition. Si d’ailleurs on suppose x, y, z, ... réduites à des fonctions entières des variables æ, y, 3, u, v, ..., on pourra facilement décomposer l'équation (2) en deux autres

ns Pos sr

p(æ)—0, (5) x(æ) — 0, qui correspondront respectivement à ces deux espèces de racines, et même l'équation (4) en plusieurs autres, qui correspondront aux diverses valeurs de /. Ajoutons que ces diverses équations, et particulièrement l'équation (5), dont chaque racine ne vérifiera aucune condition de la forme (3), pourront être généralement résolues à l'aide d'un certain nombre d'équations moins élevées, que l’on obtiendra, par exemple, en suivant la méthode donnée par Abel dans son beau Mémoire Sur une classe particulière d'équations résolues algébri-

quement.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Note sur diverses propriétés de certaines

Joncuons algébriques.