C.R., T. XXI, p. 193 (2 février

Soient données entre 2 variables

Ts Vs Z,;

OEuvres de C. — S.I,t.X. 8

ñn équations dont les unes se déduisent des autres à l’aide d’une ou de plusieurs substitutions. Si les premiers membres de ces équations sont des fonctions entières de æ, y, 3, ..., on pourra, comme-nous l’avons dit dans la séance précédente, éliminer les variables y, z, ..., puis décomposer l'équation

résultante de cette élimination, en d’autres équations plus simples et d'un degré moins élevé. Au reste, pour obtenir les valeurs de +, y, z,... propres à vérifier les équations données, il n’est pas absolument nécessaire de former l’équation résultante. On peut chercher directement les équations plus simples qui doivent la remplacer, et faire servir au calcul des coefficients que celles-ci renfermeront le système des équations données. :

Pour faire mieux comprendre comment un semblable caleul peut s’effectuer, considérons, en particulier, le cas où les équations données se déduisent toutes de l’une d’entre elles à l’aide des diverses puissances d’une substitution circulaire

PIN 2 qui renferme toutes les variables, et sont, en conséquence, de la forme (2) D en à À PL P'xE= 0: UE MORE Emi P

x désignant une fonction entière de ces variables. Si, en nommant w une autre fonction entière de æ, y, =, ..., on combine, par voie d’addition, les formules (2) respectivement multipliées par les facteurs

dy PO TE au PT O6, on obtiendra la formule

(3) Ga+P+P?+...+Pr-')ox—o.

Si d’ailleurs on attribue successivement à w x valeurs diverses, pour chacune desquelles le premier membre de la formule (3) se réduise à

une fonction symétrique de æ, y, z, ..., le système des 2 équations” ainsi trouvées déterminera les valeurs des fonctions

P=LTI+TSs+..., I—LVY+L3 +... +yYs +...,

Ÿ AE Rs LYS TUE De d

et lorsqu'on aura calculé ces valeurs, il suffira de résoudre par rapport à l’inconnue s l'équation du n° degré

(4) SR — ps" + gs psr-B Lt, —O,

pour obtenir les valeurs des variables æ, y, x, .

Pour éclaircir ce qui vient d’être dit par un exemple, supposons n—Setx—=x—(y"+c)z,c désignant une quantité constante. Les équations (2), jointes à la formule P — (x, y, 3), donneront

(5) æ—(y?+c)z—o, y—(#+c?)x —o, s—(at+c)y—o.