C. R., T. XXII, p. 251 (3 août

Les deux Mémoires que j'ai l'honneur de présenter à l’Académie se rapportent, l’un à la Géométrie analytique, l’autre au Calcul intégral. Comme je me propose de faire paraître successivement ces deux Mémoires dans les Æxercices d'Analyse et de Physique mathématique, je me bornerai à énoncer ici, en peu de mots, quelques-uns des résultats auxquels je suis parvenu.

J'ai montré, dans mon Analyse algébrique, combien il importe de fixer avec précision le sens des expressions employées dans les formules d'Algèbre : pour mieux atteindre ce but, j'ai proposé de restreindre les notations à l’aide desquelles on désignait encore trop souvent des fonctions dont les valeurs étaient multiples, et d’appliquer uniquement ces mêmes notations à des fonctions dont les valeurs fussent toujours complètement déterminées. Cet expédient, aujourd'hui généralement adopté par les géomètres, a fait disparaitre les incertitudes que présentait l’interprétation de certaines formules et les contradictions auxquelles on semblait être conduit par le calcul. Toutefois, quelques formules de Géométrie analytique, et particulièrement celles qui se rapportent à la détermination des résultantes formées avec les coordonnées de divers points, n’offraient pas encore toute la précision désirable et renfermaient des doubles signes dont la détermination dépendait de conditions qu'on était obligé d’énoncer à part dans le discours. Je fais disparaître cet inconvénient, en introduisant dans le calcul des facteurs dont chacun dépend du sens attribué à un certain mouvement de rotation, et se réduit à + 1 ou à —1, suivant que ce mouvement est direct ou rétrograde. Ce procédé permet d'établir, avec une grande facilité, non seulement diverses proposi-

tions déjà connues, mais encore plusieurs autres parmi lesquelles je citerai les suivantes :

TuéorÈme [. — Étant donnés, dans l'espace, deux angles plans

(rs) (4, vx dont les côtes

PT ME # se mesurent dans des directions déterminées ; si, avec ves quatre cosinus des autres angles que ces côtés formeront entre eux, on construit une résultante, cette résultante sera positive ou négative, suivant que les mouvements de rotation de r en s et de u en v, autour d’une droite perpendiculaire au plan de l'un des deux angles (r,s), (u, v), s'effectueront dans le méme sens ou en sens contraires; et aura pour valeur numérique le produit des sinus des deux angles (r,s), (u,v) par le cosinus de l’inclinaison

mutuelle des plans de ces deux angles.

Tuéorème II. — Étant donnes, dans l'espace, deux angles solides qui ont pour arêtes, le premier les longueurs r, s, t, le second les longueurs u, 9, w, st l’on détermine les cosinus des neuf angles que formeront les arétes r, s, t avec les arêtes u, v, w, la résultante construite avec ces neuf cosinus sera posilive ou négative, suivant que les mouvements de rotation de ren s autour de t, et de u en + autour de w, s'effectueront dans le même sens ou en des sens contraires; et cette résultante aura pour valeur numérique le produit des volumes des parallelépipèdes que l'on peut former, d'une part, sur les arêtes r, s, t, d'autre part, sur les arétes

U, Ÿ, w, en supposant chacune de ces six arêtes réduite à l'unité.

Parlons maintenant des intégrales qui se rapportent à des courbes fermées. Elles jouissent d’un grand nombre de propriétés remarquables, entre lesquelles on doit signaler celles qui se trouvent énoncées dans les théorèmes-suivants :

TuéorèmEe 1. — La position d’un point mobile P étant déterminée dans l’espace à l’aide de coordonnées rectilignes, ou polaires, ou de toute autre

nalure, nommons

des quantités qui varient d'une manière continue avec la posiuon de ce point. Soit d’ailleurs S une aire qui se mesure dans un plan donné, ou sur une surface donnée, et qui ait pour limite une seule courbe fermée de toutes parts. Concevons ensuite que le point mobile P soit assujetti à parcourtr celte courbe en tournant autour de l'aire S dans un sens détermine. Nommons s l'arc de la même courbe, mesuré positivement dans le sens dont il s'agit, à partir d'une origine fixe, ou du moins une variable qui croïsse constamment avec cet arc. Enfin, soit k une fonction des variables

æ, Y, 3, .…. et de leurs dérivées relatives à s; et désignons par (S) la va-

J'k ds

Lorsque le point mobile P, ayant parcouru le contour enter de l'aire,

leur qu'acquiert l'intégrale

revient à sa position primitive. Si, à l’aide de plusieurs lignes droites ou courbes, tracées sur le vlan ou sur la surface donnée, on partage l'aire S

en plusieurs autres

alors, en nommant (A), (B), (GC),

ce que devient (S) quand au contour de l'aire S on substitue le contour

de l’aire À, ou B, ou C, ..., on aura, non seulement

S—A+B+C+..., mais encore

(S)—=(A)+(B)+(C)+..., pourvu que la fonction k reste finie et continue en chaque point de chaque

contour.

Tnéorème Il. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème I, prenons d'ailleurs k=XD,;x +3 D;:y+bD;z+..., x, 3, %, ... désignant des fonctions de x, y, 3, ... tellement choisies que

la somme X dx + I dy + Xdz+...

soi une différentielle exacte, et concevons que l’on fasse varier la sur-

faceS, en faisant varier par degrés insensibles la forme de la courbe qui lui sert de contour. Ces variations n’altéreront pas la valeur de l'integrale (S), si la fonction k reste finie et continue en chacun des points suc-

cessivement occupés par la courbe variable.

TaéorÈème IL. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème IT, supposons que la fonction k cesse d’être finie et continue pour les seuls

points P’, P’, pr, ie

situés dans l’intérieur de l'aire S. Si l’on nomme a, b, c, ... de très petits

éléments de l'aire S dont chacun renferme un de ces points, on aura (S)—=(a)+(b)+(c)+....

Cette derrière équation fournit l'intégrale S exprimée par une somme d ‘intégrales singulières. Dans le cas particulier où la fonction k reste finie pour tous les points situés dans l’intérieur de l'aire S, ces intégrales

singulières s’évanouissent, et l’on a simplement ( S ) ES 0.

Les démonstrations les plus simples que l’on puisse offrir de ces divers théorèmes me paraissent être celles qui s'appuient sur la formule que j'ai donnée, dans mes Lecons à l'École Polytechnique, pour l'intégration des différentielles totales à plusieurs variables, et sur la considération des formes diverses que prend le résultat de l’intégration quand on échange l’une contre l’autre ces mêmes variables.

Remarquons d’ailleurs que les théorèmes énoncés subsistent, quelle que soit la forme de la ligne qui renferme l'aire S, et dans le cas même où cette ligne devient le périmètre d’un polygone rectiligne ou curviligne, par exemple dans le cas où l’aire S est celle d’un secteur cireulaire. Fe

Les corollaires qui se déduisent des théorèmes énoncés comprennent, comme cas particuliers, un grand nombre de propositions déjà connues, par exemple les théorèmes relatifs à la détermination du

OEuvres de C.— S.1,t.X. 10

7h COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

nombre des racines réelles et du nombre des racines imaginaires qui vérifient certaines conditions, dans les équations algébriques, les théorèmes relatifs à la convergence des séries, etc.

Lorsque, la surface S étant plane, æ, y se réduisent à deux coordonnées rectilignes, ou polaires, ou de toute autre nature, propres à déterminer la position d’un point dans le plan de la surface $, alors, en désignant par X, 5 deux fonctions continues des variables æ, y, et

supposant k=XD,;x+3TD,y,

on à PE ER (S)=+ / / (D, X —D:3) dx dy,

l'intégrale double s'étendant à tous les points de la surface S. Ajoutons que, si l’on nomme x, y deux longueurs mesurées, à partir d'un point quelconque P correspondant aux coordonnées +, y, sur les directions dans lesquelles il faudrait déplacer ce point pour faire croître positivement la seule coordonnée x ou y, on devra, dans la formule précédente, réduire le double signe au signe + ou au signe —, suivant que le mouvement de rotation de x en y sera ou ne sera pas de l'espèce du mouvement de rotation qu'offrirait un point mobile assu- jetti à tourner autour de l'aire S de manière à faire croitre la variable $. |

Dans le cas particulier où la somme X dx + T dy est une différentielle exacte, on a D, X = D,Y, et la formule qui détermine la valeur de (S) se réduit à l'équation

déjà trouvée (S) ur 8 4 1

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — ÂMemoires sur les fonctions de variables

IMŒgINGUITES.