C. R., T. XXII, p. 271 (10 août

Ce Mémoire devant être inséré prochainement dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique (*), je me bornerai, pour l'instant, à indiquer en peu de mots les principes qui s’y trouvent développés, et quelques-unes des conséquences importantes qui découlent de ces mêmes principes. |

Ainsi que je lai remarqué dans mon Analyse algébrique, lorsque les constantes ou variables comprises dans une fonction donnée, après avoir été considérées comme réelles, sont supposées imaginaires, la notation à l’aide de laquelle on exprimait la fonction dont il s’agit ne peut être conservée dans le caleul qu’en vertu de conventions nouvelles propres à fixer le sens de cette notation dans la dernière hypothèse. Ç

Une des conventions qu'il semble naturel d'adopter consiste à supposer que les formules établies pour des valeurs réelles des variables sont étendues au cas où les variables deviennent imaginaires.

Cette seule convention suffit, non seulement pour fixer le sens qu’on doit attacher aux notations qui représentent des sommes, des différences, des produits, des quotients, et généralement des fonctions entières ou même rationnelles de variables imaginaires, mais encore pour déterminer les valeurs des fonctions qui sont toujours développables en séries convergentes, par exemple des exponentielles, des sinus et des cosinus, ou bien encore les valeurs des fonctions composées avec celles que nous venons de signaler. La même convention deviendra insuffisante si l'on veut s'en servir, par exemple pour dé-

(1) Œuvres de Cauchy, S.W, T. XHI.

terminer le sens que l’on doit attacher, dans tous les cas, à la notation 1,

à l’aide de laquelle on représente, quand la variable x est réelle, le logarithme réel et népérien de +. Én effet, une variable réelle ou imaginaire a une infinité de logarithmes, et l’on ne pourrait représenter par une même notation tous ces logarithmes sans introduire une étrange confusion dans le calcul. Des raisons, qui seront exposées dans le Mémoire, nous déterminent à désigner généralement par 1x celui des logarithmes de + dans lequel le coefficient de ÿ— r est renfermé entre les deux limites — 7, +7, la limite inférieure étant exclue, en sorte que ce coefficient puisse varier depuis la limite — 7 exclusivement jusqu'à la limite + inclusivement. Cette convention étant admise, on pourra fixer très aisément, dans tous les cas, le sens des notations employées pour représenter les fonctions qui peuvent se définir à l’aide des logarithmes, par exemple les puissances à exposants quelconques réels ou imaginaires. On pourra aussi faire des applications nouvelles et plus étendues, non seulement des théorèmes sur la convergence des séries, mais encore des théorèmes que fournit le Calcul des résidus, et des formules générales que j'ai données pour la transformation et la détermination des intégrales définies, comme je le

montrerai ici par quelques exemples.

ANALYSE

Soit

(1) æ = rer vi

une variable imaginaire, r, p étant réels et r positif. Pour une valeur donnée de x, le module r offrira une valeur unique, et l'argumént p une infinité de valeurs, représentées par les termes d’une progression arithmétique dont la raison sera la circonférence 27. D'ailleurs, les logarithmes népériens de æ seront les diverses valeurs de y propres à

vérifier l'équation = ZX,

de laquelle on tirera

y=ir +pV—1, p étant l’un quelconque des arguments de la variable x, et Ir le logarithme réel du module r. Si, parmi les valeurs de y, on en choisit une pour la représenter par læ, elle devra nécessairement se réduire à 17, quand on aura æ —r, p — 0. Or on peut remplir cette condition de plusieurs manières. L'une des plus simples consiste à supposer

(2) lr=ir+py—1,

en admettant que l'argument p soit toujours compris entre les limites —T, +7, et ne puisse jamais atteindre la limite inférieure — 7. C’est ce que je ferai désormais, en donnant par ce moyen une extension nouvelle à la notation employée jusqu'ici dans mes Ouvrages.

Après avoir ainsi fixé le sens qui devra être attaché dans tous Les cas à la notation 1x, ou, ce qui revient au même, la valeur de la fonction simple 1æ, on en déduira sans peine les valeurs des fonctions que l’on peut faire dépendre de Iæ, par exemple les valeurs de

FL Ne RE LE

la lettre L indiquant un logarithme pris dans un système quelconque. Pour y parvenir, il suffira d'étendre les formules

br Lalz, fer, za = ert#,

qu'il est facile d'établir dans le cas où à, x, y sont réels, au cas même où a, æ, y deviennent imaginaires.

En vertu des conventions et des définitions précédentes, les fonctions

RSR 2

seront généralement, pour des valeurs finies de r et de p, des fonctions continues de la variable æ, si, comme nous l'avons fait, on applique ce nom à toute fonction qui, pour chaque valeur donnée de la variable +, acquiert une valeur unique et finie, et qui varie avec x par degrés insensibles de telle sorte qu’un accroissement infiniment petit, attri-

bué à cette variable, produise toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même. Seulement, les fonctions