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deviendront discontinues dans le voisinage de valeurs réelles et négatives de æ, en sorte qu’il y aura, pour de telles valeurs, solution de continuité.

Ces principes étant admis, on pourra faire des applications nouvelles et plus étendues des théorèmes qui reposent sur la considération des variables imaginaires et des fonctions continues, par exemple des théorèmes généraux sur la convergence des séries, des formules relatives à la transformation et à la détermination des intégrales définies, et des propositions générales fournies par le calcul des résidus.

Considérons, pour fixer les idées, la formule générale

(3) [de an

D'après ce qui a été dit dans les Exercices de Mathématiques, cette formule suppose, d'une part, que l'intégrale f f(x) dx est réduite à sa

valeur principale, d'autre part, que le produit =/(z), dans lequel z—x+yV—1 s'évanouit pour æ = ++, quel que soit y, et pour y = », quel que soit æ. Ajoutons que, si la fonction f(x) devient discontinue, sans devenir infinie, pour des valeurs réelles de x, on devra, dans le premier membre de la formule (3), remplacer f(æ) par fa + e— 1), € étant une quantité positive infiniment petite. Concevons maintenant que l'on pose dans la formule (3)

(4) f(æ) =[f(@)IE EF (x),

f(x), F(æ) étant deux fonctions dont chacune reste réelle pour toute valeur réelle de æ, et jouisse, comme les fractions rationnelles, de la propriété de rester continue, tant qu’elle reste finie. Supposons, d’ailleurs, la constante & choisie de manière que le produit = /(z) s'évanouisse toujours quand la fonction f(z) devient infinie pour une valeur de z dans laquelle le coeflicient de Ÿ— x est positif, Enfin, dési-

EXTRAIT N° 332. 79 gnons par Ë un facteur qui se réduise à l'unité qüand f(x) ést positif, et à + x quand f(x) est négatif, le double signe + devant être réduit au signe + ou au signe —, suivant que la fonction dérivée f(x) est positive ou négative. La formule (3) donnera

- Ê | ps G) [TE Fe) dr ar Vi LE Craie (F(a)

Si, F(æ) étant une fonction paire de æ, la fonction f(x) est du nombre de celles dont les dérivées sont toujours positives, l’équation (5) donnera

e. nue * Pres .® [item red TL Etre (r(s).

1+ eutV

La formule (6) comprend un grand nombre de résultats dignes de remarque. On en tire, par exemple pour des valeurs positives quelconques des constantes 4, c, et pour toute valeur réelle de w, comprise entre les limites — 1, +1,

= u. 5 : = adx T e4c — erac\k (7) [Ganges = ns.) à A + X° dde ET eac EL eTae

Observons encore que, à l’aide des principes ci-dessus exposés, on pourra tirer des résultats nouveaux des théorèmes relatifs au résidu intégral d’une fonction, énoncés dans un précédent Mémoire. [ Vorr la séance du 16 décembre 1844, page 1337 (‘).]

On pourrait considérer, dans la formule (2), l'argument p comme représentant un angle polaire, et le faire varier en conséquence entre les limites communément assignées aux angles polaires, c’est-à-dire entre les limites o, 27. C'est ce qu'a fait M. Ernest Lamarle dans un Mémoire sur la convergence des séries. Mais on obtiendrait alors pour Ix et pour x“ des fonctions qui deviendraient discontinues dans Île voisinage de valeurs réelles et positives de æ, ce qui pourrait avoir quelques inconvénients. Il en résulterait, par exemple, que la fonc-

(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, T. VI, p. 366.

tion (1+ æ)" deviendrait discontinue pour des valeurs du module r de + inférieures à l'unité.

CALGUL INTÉGRAL. — Mémoire sur l'application du Calcul des résidus à la recherche des propriétés générales des intégrales dont les dérivées ren-

ferment des racines d'équations algébriques.