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est divisible par le facteur 3, il résulte d’un théorème précédemment établi (séance du 13 octobre, page 851 ('), que, dans l'hypothèse

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, T. IX, p. 359.

admise, quelques-unes des substitutions (11) PU PU 1 EEE à

qui n’altéreront pas la valeur de Q seront régulières et du troisième ordre. Donc, puisque , est nul, À, et par suite #,, ne pourront s’évanouir. Donc l’une au moins des substitutions r, P, Q, R, ... sera de la forme P,,; et, comme la substitution inverse P;', sera encore de la même forme, nous devons conclure que k,, sera, dans l'hypothèse admise, un nombre pair différent de zéro. Ce n’est pas tout : comme la seconde des formules (8) donne (12) K3,3 — 7e li3,3s

le nombre #,, devra être, ainsi que m, divisible par 3; et même, si l’on supposait rm» — 24, la formule (12), réduite à

ue Ks,3 Là Mer SA3,ss

donnerait pour #,, un nombre divisible par 6. Mais alors, évidemment, la formule (10} ne pourrait plus être vérifiée, puisque le premier membre, égal ou supérieur au nombre

8 Ks,s — 48, surpasserait la différence

Donc il n’est pas possible de supposer 77 — 24.

Concevons maintenant que la fonction Q doive être tout à la fois transitive par rapport à six et à cinq variables, et intransitive pâr rapport à quatre. Alors, d’après ce qui a été dit dans le $ I, le nombre 7x des valeurs distinctes de Q ne pourra être que l’un des nombres

Donc, puisqu'on devra exclure la supposition 77 — 24, on aura néces-

sairement mn #13;

OEuvres de C. — S.1,t. X. 2

et par suite (voir la séance du 29 décembre, p. 1405 ("), L,,#, devront s'évanouir. Alors aussi les formules (7), (8), (9), (10) donneront