ARR TT PEER M LE OU

(14) hs—=10ok;, 3h3,3—10k3,3; hhsss = D Ka 2h,,2—=19 Kiss (15) Kes=5 à, A0

(16) 24k5+ 8ks,3+ 3 ka,2,2 +18 Ki, = 48.

Des formules (13) et (15) on déduira les suivantes (17) h5 70, h, = 3%,

que l’on pourrait tirer encore des équations obtenues dans le $ E. Ajoutons que des formules (14) et (16) on pourra aisément déduire les valeurs des quantités

hs hs, ha,2,2) hi;

et d’abord, puisque #,., devra être un nombre entier distinct de zéro et divisible par 3, le terme 84,, de la formule (14) sera égal ou supérieur à 24. Donc le terme 184,, devra être inférieur à la différence 48 — 24 — 24. Done le nombre entier #,, devra être inférieur à +; et, comme d’ailleurs il doit être divisible par 2, en vertu de la dernière des formules (14), on aura nécessairement

Ki,2 = 0, hi 410$ en sorte que l'équation (14) se trouvera réduite à (18) 24 ke+ 83 3 kan 48.

D'autre part, si #, différait de zéro, on pourrait en dire autant de #,, et de #,,, attendu qu’une substitution de la forme

a pour carré une substitution de la forme P,,, et pour cube une sub-

stitution de la forme P,,,. Cela posé, comme, en vertu des formules (14), #,,, devra être divisible par le facteur 3, et #4,,,, par le

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, T. IX, p. 500.

facteur 4, il est clair que, en supposant #, différent de zéro, on obtiendrait pour premier membre de la formule (18) une somme égale ou supérieure à

Done alors cette formule ne pourrait être vérifiée. On aura donc encore nécessairement |

et par suite l'équation (18) sera réduite à

(19) 8Ks,3 + 34ka,2,9 = 48.

Enfin, il est facile de voir que #4:,2 et k,22 devront être divisibles par 3. En effet, concevons que l’on désigne simplement par la lettre P l’une des substitutions qui, étant de la forme P,,, n’altérent pas la valeur de Q@, et supposons un instant que Q ne soit pas non plus altéré par une certaine substitution ® de la forme P,,,. Les deux substitutions P, ® ne pourront être permutables entre elles. Car si l'on avait

Fr ePr, alors, d’après ce qui a été dit dans la séance du 1** décembre, p. 1197 (‘), &et P seraient de la forme

ER Éd à

s étant une substitution circulaire du sixième ordre; et comme, en

vertu de la formule S=#Bt— CP:

s serait une dérivée des deux substitutions ®, P, la substitution s devrait être elle-même du nombre de celles qui n’altéreraient pas la valeur de Q. Cette conclusion étant incompatible avec l'équation

précédemment établie, on peut affirmer que la substitution & ne sera

(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, T. IX, p. 439-440.

pas permutable avec P. Par la même raison, ® ne saurait être permutable avec la substitution P?, qui est régulière et du troisième ordre, comme la substitution P. Donc, si l’on pose

(20) ®—pP@P-1, @'—pr@p—+,

on obtiendra pour &’, ®’ deux substitutions distinctes de @. D'ailleurs chacune d'elles, étant semblable à ®, et par conséquent de la forme P,2:,, ne pourra être permutable avec la substitution &. Donc la substitution ”’, évidemment liée à & par la formule

(ar) @"= pRP-,

sera encore distincte de la substitution ®&’. Ce n’est pas tout : comme on tire des formules (20)

(22) P®—@P, ®P—SP, PE—EP, nous devons conclure que, si parmi les substitutions

OU CE à le | RE qui n'altèrent pas la valeur de Q, quelques-unes, (23) M RSR res sont de la forme P,,,, celles-ci, prises trois à trois, vérifieront des équations semblables aux équations (22); et comme évidemment deux systèmes de cette forme ne peuvent renfermer la même substitution @, sans se confondre l’un avec l’autre, il en résulte que le nombre k,,:

des termes compris dans la série (23) devra être divisible par 3. Donc le nombre #,,,,, lié au nombre k,,, par la formule

D Kk3,2,2 = 43,2, devra être divisible, non seulement par 4, mais aussi par 3, et, en

conséquence, par 12. Donc, puisque le produit 84,, doit être égal ou supérieur à 24, l'équation (19), de laquelle on tirera

3k3,2,2 = 48 — 83,37 24, Ko,soz 8,

EXTRAIT No 320. 13

ne pourra être vérifiée sans que le nombre #,,,, S’évanouisse. On aura

donc Ka,2,2 = 0, k3 = = 6

et, par suite, en vertu des formules (14), (24) ii; h3,3— 20.

Ainsi, en définitive, si la fonction Q est transitive par rapport à six et à cinq variables, et intransitive par rapport à quatre, les substitutions 1, P, Q,R, ..., qui n’altéreront pas la valeur de Q, scront toutes, hormis celle qui se réduit à l'unité, de l’une des trois formes

P:,3, P;, Pys3 et, comme on aura

(25) ’ À: 20, 1 rene Ÿ 4 his res les divers termes qui, avec l'unité, composeront la suite

CPE UR,

seront 20 substitutions de la forme P, ;,

24 substitutions de la forme P;, 15 substitutions de la forme P,,

D'ailleurs, en vertu des principes établis dans le ST, celles de ces substitutions qui, étant circulaires et du cinquième ordre, c’est-à-dire de la forme P;, renfermeront seulement les cinq variables

Le 68 Lors: Fe M se réduiront aux puissances Q, 0°, Q, Q°

d’une même substitution circulaire Q; et, comme on pourra fixer arbitrairement la forme des lettres propres à représenter les variables qui devront succéder l’une à l’autre, en vertu de la substitution Q, rien n'empêchera d'admettre que ces variables sont précisément |

On pourra donc supposer (26) Q—(7,3.u,v,w).

Soit maintenant R l’une des cinq substitutions qui, étant régulières et du second ordre, c'est-à-dire de la forme P,,, n’altéreront pas la valeur de Q, et renfermeront quatre des cinq variables y, z, u, +, w. D’après ce qui a été dit dans le ST, on pourra déterminer R à l’aide de l'équation symbolique

(27) Rs (ET);

et si, pour fixer les idées, on veut déduire de la formule (27) celle des substitutions R qui ne déplacera, ni la variable æ, ni la variable w,

FE dd A JsuPw

ou, ce qui revient au même,

on aura

Ce n’est pas tout : les quinze substitutions régulières du second ordre qui, étant formées avec quatre des six variables

M Ve du Vi:

n’altéreront pas la valeur de Q, renfermeront trente facteurs circulaires du second ordre. Mais les facteurs distincts de cet ordre, qui peuvent être formés avec six variables, sont au nombre de quinze seulement. Donc, puisque la fonction Q est supposée doublement transitive, c’est-à-dire transitive par rapport à six et à cinq variables, et qu’en conséquence les divers facteurs du second ordre devront tous reparaître le même nombre de fois dans les quinze substitutions régulières ci-dessus mentionnées, chacun d’eux devra toujours appartenir à deux substitutions distinctes. Cela posé, nommons NT

celles des substitutions