C.R., T. XXIIL, p. 321 (17 août
Ainsi que je l’ai montré dans plusieurs Mémoires présentés à l’Académie en 1841, le Calcul des résidus fournit un grand nombre de formules générales qui comprennent, comme cas particuliers, les beaux théorèmes d’Euler et d’Abel sur les transcendantes elliptiques et sur des transcendantes d’un ordre encore plus élevé. Parmi ces formules générales, on doit particulièrement distinguer celles auxquelles satisfont les intégrales qui, comme les transcendantes elliptiques, renferment, sous le signe fs des radicaux du second degré ou des racines d'équations algébriques. Mais comme, après avoir déterminé les diverses racines d’une telle équation, l’on peut être quelquefois embarrassé de savoir quelle est, parmi ces racines, celle qui doit entrer dans chaque intégrale, j'ai cru qu'il serait utile d'indiquer une méthode à l’aide de laquelle on pût résoudre aisément et généralement cette question. Je vais, en peu de mots, faire connaitre cette méthode, qui sera exposée avec plus de développement dans les Exercices d'Analyse; et, afin qu’elle puisse être plus facilement saisie, je la montrerai ici appliquée à quelques exemples.
ANALYSE
$ I. — Considérations générales.
Supposons la variable x liée à d’autres variables
AE. LS € EDR 1
par des équations (1) 10 La; Eds F0 dont le nombre soit égal au nombre de ces autres variables. Supposons encore que, en vertu de ces mêmes équations, les variables Yÿs Z;
puissent être exprimées en fonctions toujours continues, par exemple en fonctions rationnelles des deux variables
Bye ts et soit (2) CNE AT NS EE l'équation produite par l'élimination des variables y, z, ... entre les formules (1). L'équation (2), résolue par rapport à la variable æ, four-
nira, pour cette variable, considérée comme fonction de 4, diverses
valeurs Lis Los 3,
auxquelles correspondront respectivement certaines valeurs
HP Par Pas
de la variable y, puis certaines valeurs
de la variable z, etc.
Soit maintenant
(3) NH S Poe, :.,t)
une fonction continue des variables
Comme, par hypothèse, en vertu des formules (1), y, 3, ... peuvent
ètre exprimées en fonctions toujours continues de æ et #, Æ pourra être considéré comme une fonction continue des seules variables x, 4.
Œuvres de C.— S.1,t.X. II
Cela posé, aux diverses valeurs de +, tirées de l'équation (1), correspondront diverses valeurs de #, que nous nommerons
k, ko, Ka, tie et, par suite, diverses valeurs de l'intégrale
t (4) +) kD, x dt, T
= étant une valeur particulière de la variable #. Si l’on nomme s la somme de ces diverses valeurs de l'intégrale 8, on aura
t st mL kiDiæsdt+ [ D .
pere Qt s#
Ajoutons que, si l’on pose, pour abréger,
D(r,t)=2D,/F{2, 6, Vie D=D,F(x,t),
l'équation (2) donnera
et que, par suite, on tirera de la formule (5)
En kW KW(x,t) ty sa vs -[ £ (F(æ, 6) 5) Si d’ailleurs le rapport
kY(x,t) F(zx, t)
ne devient jamais infini que pour des valeurs nulles de son dénominateur, et si le produit de ce rapport par x s'évanouit généralement pour des valeurs infinies, réelles ou imaginaires de æ, on aura
RTC t) (7) C(F(&,t)
et l'équation (6) donnera simplement
Si l'équation PR Su
résolue par rapport à +, fournissait quelques valeurs indépendantes de {, on aurait, pour chacune de ces valeurs, LL PR Ames à En À
et, par suite, les intégrales correspondantes à ces mêmes valeurs de x disparaîtraient toujours dans la somme représentée par s.
Supposons à présent £ assez rapproché de +, pour que les variables x, restent fonctions continues l’une de l’autre entre les limites de l’intégration, et désignons, à l’aide de la lettre £, la valeur de x correspondante à la valeur x de £, en sorte que
Gi Es. Ëss représentent les valeurs particulières de Lis Los Las
correspondantes à £ — 7. La formule (4) donnera
(9) s— [rar
k£ étant regardé, non plus comme fonction de /, mais comme fonction de +, et la valeur de s, déterminée par l'équation (5), deviendra
(10) a kdm+ f hdes+ f Kk;sdz3+....
Il importe d'examiner spécialement le cas où l’équation (3), étant indépendante de #, se réduit à la forme
(11) Raf(æ;y2,..),
et où la dernière des équations (1) renferme seule la variable 4. Il semble qu'alors les divers termes de la suite
ki, ka K3s ARE
qui représentent diverses valeurs de # considéré comme fonction de æ, pourraient se déduire des seules équations
(12) dé Fr -b,
jointes à la formule (11). Néanmoins les formules (11) et (12), séparées de l’équation :
ou, ce qui revient au même, de la formule (2), ne sufliraient pas toujours à la détermination des fonctions
ki, Ras Ras
que renferment, sous le signe 1 les intégrales comprises dans le second membre de la formule (10). En effet, les fonctions de x et de # qui représentent les valeurs de y, z, ... tirées des formules (12) et (13), étant, par hypothèse, toujours continues, ces valeurs seront complètement déterminées. Mais il pourra en être autrement des fonctions de + qui représenteront les valeurs de y, z, ... tirées des seules équations (12), attendu que ces dernières équations, résolues par rapport aux variables y, 3, ..., peuvent fournir, pour ces variables, plusieurs systèmes de valeurs. Alors on pourra être embarrassé de savoir quelles sont celles des valeurs de y, 3, ... qu’il faut substituer dans la fonction RAIN SES...) avant d'y remplacer la lettre æ par +,, ou par æ,, ..., afin de réduire cette fonction à #, ou à #4,, .... Or cette difficulté pourra être généralement résolue à l’aide de la règle que nous allons indiquer. Lorsqu'on posera de et ME,
£ étant l’un quelconque des termes de la suite
Ë Es # …..
les variables NES ATOS AE
exprimées en fonctions continues de x et de £, acquerront des valeurs déterminées. Nommons n» 6
ces mêmes valeurs, qui deviendront
M1 Ci "#9
quand on remplacera £ par Ë,, Nas Bas +.
quand on remplacera € par &,, etc. Parmi les valeurs de ME Ai MeR Er, tirées des formules (12), celles qu’on devra substituer dans #, avant d'y remplacer + par æ,, pour obtenir #,, seront celles qui vérifieront, pour æ — Ë,, les conditions
(14) : Y — Ni: ter
Pareillement celles qu'on devra substituer dans #, avant d’y remplacer æ par +,, seront celles qui vérifieront, pour x — £,, les conditions
‘(15) - Fa 26. ue
et ainsi de suite.
Si, parmi les valeurs de y, z, ... que fournissent les équations (12), celles qui vérifient les conditions (14) sont aussi celles qui vérifient les conditions (15) et autres semblables, alors, en supposant ces mêmes valeurs substituées à la place de y, z, ... dans la fonction #, on verra l'équation (10) se réduire à la forme
x Le Lg (16) a à kr + f kde+ f kdx +...
ër & €, £s
$ Il. — Applications.
Considérons maintenant le cas où les variables æ, y, {, réduites à trois, sont liées entre elles par deux équations, dont la première renferme seulement æ et y, la seconde équation étant linéaire par rap-
port à y et à £. Les deux équations dont il s’agit seront de la forme
(1) f(x, Y)=0, (2) Y= UT,
U, V étant fonctions de la seule variable +, et l'élimination de y pro-
duira la formule (3) fa, Ut+ V) = 0.
Donc la fonction représentée par F(x,1) dans l’équation (2) du S 1 sera déterminée par la formule
la valeur de y étant fournie par l'équation (2). Cela posé, si l'an fait,
pour abréger,
gta, y)=Df(e,r) x 7)=D, (27) on tirera des équations (2) et (4) DiF(z,t)=Ux(x, y), et la formule (6) du $ I donnera
e Uk4(zx, >)
je Te POI VD)
Enfin, si l’on fait, pour abréger,
(6) Kx(x,7)= 0 (x, 7)
ou, ce qui revient au même, si l'on pose
ss Lee) we, y) : ; x(a 7) D, f(x, 7)
la formule (5) deviendra
(8 FAN Pi
(f(x, Ut+V)
Si U, V se réduisent à des fonctions entières de x, et &(æx, y), f(x, y) à des fonctions entières de æ, y, alors on aura
Uw(x, Ut+V) Uw(x,Ut+V) à (f(x, Ut+V)) El f(x, Ut+ V) )
et, pour que léquation (8) se réduise à (9) $—0, il suffira que, la fonction Q étant déterminée par la formule
Ho oz Ut+V) FE f(x; Ut + V)
le produit Qx s'évanouisse pour des valeurs infinies, réelles ou imaginaires de la variable x.
Considérons à présent le cas particulier où l'équation (1) se réduit à la forme |
ñn étant un nombre entier et X une fonction entière de æ. On aura,
dans ce cas, ft, Y)=7"— X, AE TRS Perd: N ae
par conséquent,
.__ mx, y) (12) A ER
Alors aussi l'équation (3), réduite à (13) (Ut+ Vyr— Æ—o,
sera, par rapport à la variable x, d'un degré indiqué par le plus grand des nombres qui représenteront les degrés des trois fonctions
Ur, Pr, 5 €
L'équation (13) sera donc du degré mn, si, les fonctions U et V étant du degré m, le degré de X ne surpasse pas celui de U* et de V".
D'autre part, on tirera de la formule (11), résolue par rapport à y,
