PAF

0 étant une racine ni" de l’unité; en sorte que l'équation (12) donnera

rs. te px*)

noir sr.

ou, ce qui revient au même, ( 1 L HN z,9 4%) (19) +) Er — n +. n

Mais, quand on voudra déduire de cette dernière formule les valeurs des fonctions représentées par #,, 4,, #,, ... dans l'équation (10) du S I, en substituant à la variable x les valeurs

Ti, Lo, T3

de cette même variable, tirées de l'équation (13), on pourra être obligé de prendre successivement pour 0 plusieurs des racines nie

de l'unité. Soient

les valeurs successives de 0, correspondantes aux diverses valeurs

de x. Soient encore

Es Ës Ës

ce que deviennent ces mêmes valeurs de æ quand on pose {= 7, et nommons alors £ l’une quelconque d’entre elles. Enfin, soient

ce que deviennent

quand on y pose æ — &. En vertu de la règle énoncée dans le $ I, la valeur de 6 correspondante à une racine déterminée de l’équation (13),

EXTRAIT N° 333. 89 par conséquent à une valeur déterminée de £, sera donnée par la formule

(16) Or +0 = OX".

Par conséquent, dans la détermination des valeurs de #,, 4,, ... que renfermera la somme s, en vertu de l'équation (10) du SE, on devra joindre la formule (16) à la formule (15).

Les valeurs de ô,, PR

étant déterminées à l’aide de la formule (16), l'équation (10) du SI, jointe à la formule (15), donnera

4 1 Le 1 (19) ef er..n f (see É 2° &, Æ "A

Ajoutons que la somme s s’évanouira, et qu’on aura, par suite,

ns 11; Là A8 L (18) 06, Æ" he 6,4%) dx + o, FL die 5, X*) dx +.,,=0 ( £e

si, La fonction Q étant déterminée par la formule

__ æ(æ, Ut+V) G9) Lys D’

le produit Qx devient nul pour des valeurs infinies, réelles ou imaginaires, de la variable æ.

Si la fonction &(x, y) est de la forme

o(x, y)= y" To (x),

l désignant un nombre entier inférieur à 2, et #(x) une fonction entière de æ, la formule (19) donnera

U(Ut+ Vyr-it

NL QUE VE

D(æx).

Si d’ailleurs, U, V étant du degré », le degré de X n’est pas supérieur OEuvres de C.— S.1,1.X. 12

à mn, il suffira que le degré de 5(x) soit inférieur au nombre ‘ml—1,

pour que, à la valeur de Q tirée de l'équation (20), corresponde une . + , . I valeur du produit Qx qui s'évanouisse avec =: Donc alors la for-

mule (18), réduite à T4 He Te er A (21) ext f. ÆX "o(x) dx + est [. A: Foc) dr + NE 6, : A

se vérifiera toujours quand on prendra pour &(x) une fonction entière de æ d’un degré inférieur à m/—1, par exemple quand on prendra pour (+) un quelconque des termes de la suite

(227: : Re Ds ht,

Lorsque U et V sont du degré », le degré de l'équation (13), par rapport à æ, ne peut être inférieur à 22. Néanmoins, comme dans la somme s on doit comprendre seulement les intégrales relatives à des valeurs

Tps Ta de x qui dépendent de la variable 4, il est clair que le nombre de ces valeurs et de ces intégrales s’abaissera au-dessous du produit ren, si le premier membre de l'équation (ro) se décompose en deux facteurs, dont l’un soit indépendant de z. C’est ce qui arrivera généralement si l'on attribue à X une valeur de la forme

(23) X=Vr—UW,

W étant une fonction entière de x d’un degré inférieur, ou tout au =)

plus égal au produit (7 — 1). Alors l'équation (13) se décomposera

en deux autres, savoir

(25) Unie t nr Verte, + n Vis W —=o,

dont la première sera indépendante de #, et dont la seconde sera seu-

lement dudegré »#(7 — 1) par rapport à la variable +. Donc alors le nombre des intégrales comprises dans la somme s sera seulement m(n—1).

Il est bon d'observer que si, en représentant par

Wie PA lei DORE les mn — 1) valeurs de x tirées de l'équation (25), on nomme

Ai AS ire, NE les valeurs correspondantes de X, on tirera de l'équation (21), différentiée par rapport à £,

: | Nr” Fr min ho À 0) D (Lise 0

Si, dans cette dernière formule, où &(x) représente une fonction

entière de æ d'un degré inférieur à ml — 1, on remplace successivement cette fonction par les divers termes de la suite

x 2 mli—2 EL"; tes) D ;

on obtiendra xl — 1 équations différentielles de la forme

; 1 1 à | pad Se "dx, + 8," 4, * dx: +. Eu 2 LR AEECE, RUE ÉD pe ns 8 = 0, à | ss (23) | CS Le CE À de AE PE TR TE Ce lt te DB EE 0, Re Die a PM LÉ D DU nn ee à do à à à à à à eee LUS CE JR en EU QE se à ; A. Ve SUP RE md 20e PAS OO Re) mn ES RE TO

Si d'ailleurs on nomme U;, Fi Mt U,, LA W, ce que deviennent les fonctions | SERRE A

quand on y remplace successivement x par æ,, puis par æ,, ..., la for-

mule (25) donnera

M crét A à rank dE vis +... .+n Vi ILIEW, —o, (28) | DE TER RRUS Ta Te +...+nVitt+W, = o,

pre RER %m) d'VENOLNS' SL CTINSS VU ETONMIETONTS NAT Eds men 'e vo , n--2

Et pin LR Vrcm- 6 +... + Winin-1 = 0.

Si l’on élimine t entre les formules (28), on obtiendra entre les seules variables :

Lis Las +5 Æm(n—1) m(n—1)—1 équations algébriques, qui seront autant d’intégrales du système des équations (27). Ajoutons que le nombre de ces intégrales sera évidemment égal ou supérieur à celui des équations différentielles elles-mêmes, suivant que l’on aura {= n — 1 ou [<< n —1.

Les résultats que nous venons d'établir comprennent, comme cas particuliers, les beaux théorèmes d’Euler et d’Abel sur les transcendantes elliptiques et sur d’autres transcendantes d'un ordre plus élevé, et s'accordent avec les formules obtenues par M. Richelot et par M. Broch, auxquelles nous pourrons les comparer dans un autre Mémoire.

Il importe de rechercher les cas où les équations algébriques produites par l'élimination de £ entre les formules (28) représentent précisément les intégrales générales des équations (27). Comme nous le montrerons dans un autre article, ces cas ne peuvent être que ceux où l’on a en même temps

D'ailleurs, pour que les conditions (29) se vérifient, 1! faut que l’on

ait, ou ASE, m3, ou Dhs à nTOUA, ou enfin EE PA "er VA

Lorsque 2 — », l'équation (25) se réduit à

(30) Ur+2Vt+ W=o,

et l’on retrouve les théorèmes d’Euler et d’Abel. Si l’on suppose, au

contraire, rte M== T1: OÙ 3; ou bien Hi E. MST,

on obtiendra des formules dignes d’être remarquées, et sur lesquelles je me propose de revenir.

J'ai supposé ici que l’on attribuait aux notations ë “

D LS d.

le sens indiqué dans le Mémoire que j'ai présenté lundi dernier à l’Académie. En parcourant, depuis la lecture de ce Mémoire, celui que M. Bjôrling a publié sur le développement d’une puissance quelconque réelle ou imaginaire d’un binôme, j'ai trouvé au bas d’une page une note où il est dit que le même auteur a présenté à l'Académie d'Upsal une Dissertation sur l'utilité qu'il peut y avoir à conserver dans le calcul les deux notations x°, Lx dans le cas même où la partie réelle de æ est négative. M. Bjôrling verra que, sur ce point, je suis d'accord avec lui; il reste à savoir si les conventions auxquelles il aura eu recours pour fixer complètement, dans tous les cas, le sens des notations æ*, Lx sont exactement celles que j'ai adoptées moimême; et, pour le savoir, je suis obligé d'attendre qu'il me soit possible de connaître la Dissertation dont il s’agit.

CALCUL INTÉGRAL. — Memoire sur le changement de variables dans les transcendantes représentées par des intégrales définies, et sur l’inte-

gration de certains systèmes d'équations différentielles.