C. R., T. XXII, p. 382 (24 août

Ainsi qu'on l’a vu dans mes précédents Mémoires, le calcul des résidus peut être utilement appliqué à la détermination d'une somme

d'intégrales qui renferment, avec une certaine variable +, les diverses valeurs de plusieurs autres variables

FAR à

considérées comme fonctions de +, et liées à æ par un système d'équations algébriques ou même transcendantes. On doit surtout distinguer le cas où y, 5, ... peuvent être exprimées en fonctions toujours continues, par exemple en fonctions rationnelles de la variable æ, et d'une nouvelle variable #, et où l’on prend pour origines des diverses intégrales relatives à æ les diverses valeurs de æ correspondantes à une valeur donnée * de la variable #. Dans ce cas, les diverses intégrales relatives à æ correspondront elles-mêmes aux diverses racines d'une certaine équation algébrique ou transcendante, que nous appellerons l'équation caractéristique, et qui renfermera les seules variables æ, 4. Alors aussi, sous certaines conditions qu’il importe de connaitre, chaque intégrale définie relative à æ se transformera en une intégrale relative à 4, et prise à partir de l’origine {= 7. Supposons, pour fixer les idées, que la variable z soit réelle. Si les fonctions de #, qui représentent les racines de l’équation caractéristique résolue par rapport à æ, restent réelles entre les deux limites de l’intégration relative à 4, la condition à remplir sera que, dans cet intervalle, chaque racine, variant avec # d'une manière continue et par degrés insensibles, soit toujours croissante ou toujours décroissante pour des valeurs croissantes de £. Ajoutons que, si une ou plusieurs racines de l'équation caractéristique deviennent imaginaires, entre les limites de l'intégration relative à z, la condition énoncée devra être séparément vérifiée pour les deux quantités variables qui, dans chaque racine imaginaire, représenteront la partie réelle et le coeflicient de Yÿ— 1.

Lorsque les deux limites de l'intégration relative à £ sont assez rapprochées l’une de l'autre pour que les racines réelles ou imaginaires de l'équation caractéristique satisfassent toutes aux conditions que nous venons d'indiquer, alors la somme des intégrales relatives à x

EXTRAIT N° 334. 95 peut être transformée en une seule intégrale relative à z. Le cas où cette intégrale s'évanouit, et où l’équation caractéristique a pour premier membre une fonction entière des variables æ, {, mérite une attention spéciale. Dans ce cas, auquel se rapportent divers Mémoires, non seulement d'Euler, de Lagrange et d’Abel, mais aussi de MM. Jacobi, Richelot, Broch, etc., les diverses racines de l'équation caractéristique fournissent des intégrales algébriques de certains systèmes d’équations différentielles. D'ailleurs, comme je l'ai dit dans la dernière séance, ces intégrales peuvent être ou particulières, ou même générales. Ainsi, par exemple, comme Euler l’a fait voir, on peut obtenir l'intégrale générale et algébrique d’une équation différentielle entre deux variables, dans laquelle ces variables sont séparées, leurs différentielles y étant divisées par les racines carrées de deux polynômes semblables du quatrième degré. On verra, dans ce Mémoire, que l’on peut aussi construire l'intégrale générale et algébrique de l'équation du même genre qu'on obtient en remplaçant dans l'équation différentielle d'Euler les racines carrées de deux polynômes semblables du quatrième degré par les racines cubiques des carrés de deux polynômes semblables du troisième degré.

ANALYSE

Supposons, comme dans le précédent Mémoire, la variable æ liée à d’autres variables par des équations (1) ; Se. 5 20, Sr FES

dont le nombre soit égal au nombre de ces autres variables. Supposons encore que, en vertu de ces mêmes équations, les variables

Jr .&

puissent être exprimées en fonctions toujours continues, par exemple en fonctions rationnelles des deux variables æ, 4; et soit

(2) Pitei)z 0

l'équation produite par l'élimination des variables y, s, ... entre les formules (1). Cette équation, que j'appellerai caractéristique, étant résolue par rapport à æ, fournira, pour æ considérée comme fonction de 4, diverses valeurs

Li La T3

Soit d’ailleurs # une fonction des variables +, {, qui demeure continue par rapport à ces variables, du moins pour une valeur de ? suffisamment rapprochée d’une certaine origine 7; et, en nommant

Ki, Ke, Ks, les valeurs de Æ correspondantes aux valeurs

Li, La Lys

de la variable +, posons t t (3) sf hDea dt+ k:D,x:s dt +...

On tirera de la formule (3), jointe à l'équation (2),

(4) ft ea ny) db

le signe £ étant relatif à la variable æ. Si d’ailleurs le rapport

étant une fonction de æ et de #, qui reste toujours continue, quand elle est finie, ne devient jamais infini que pour des valeurs nulles du dénominateur F(x, £), et si le produit de ce rapport par æ s’évanouit généralement pour des valeurs infinies, réelles ou imaginaires de x, on aura (3) 4 UE OL Éxo),

et l'équation (4) donnera simplement

Supposons maintenant que la valeur de #, considérée comme fonction de æ et #, se déduise des équations (1) jointes à une équation de

la forme (7) Re À ER DE LES f(æ,y,3,...) étant une fonction de x, Y, 2, ... qui, réduite à une

fonction des seules variables x, £, par la substitution des valeurs de y, 3, ..., reste continue, du moins pour les valeurs de £ comprises entre les limites des intégrations. Nommons

é; 1; bs

les valeurs particulières qu’acquièrent, pour & —*, la variable x considérée comme racine de l'équation (2), et les variables y, 3, .., exprimées en fonctions toujours continues de æ et de 4. Enfin soient

Es Ti: 63 Ës Nes Go; Es Vas Gb

les diverses valeurs de SIDE" POI

correspondantes aux diverses racines de l'équation (2); et supposons que, parmi les équations (1), la dernière, savoir

renferme seule la variable £. On pourra déterminer #,, en substituant dans le second membre de la formule (3) les valeurs de y, z, ..…, tirées des équations

(9) : Fos 220; ..

et assujetties à vérifier, pour 4 — +, les formules (10) Y —= Ni; 2 Ci

On obtiendra ainsi une valeur de #, exprimée en fonction de la seule variable æ,. On pourra, de la même manière, exprimer #, en fonction

de la seule variable x,, £, en fonction de la seule variable æ,, et, par OŒEuvres de C. — S.1,t. X. 13

suite, substituer à l'équation (3) une autre équation de la forme

en Le T3 (11) PE hdmi f kam+ [ ksdxzs+..., (+ £e Gs

les fonctions Æ,, #,, #,, ... étant toutes devenues indépendantes de la variable £. Toutefois cette substitution de la formule (11) à la formule (3) ne peut ordinairement s'effectuer que sous certaines conditions, et pour des valeurs de £ suffisamment rapprochées de 7, ou, ce qui revient au même, pour des valeurs numériques suffisamment petites de la différence £ — 7, par conséquent pour des valeurs des différences Ti Ëis Lan La Es +,

suffisamment rapprochées de zéro. Admettons, pour fixer les idées, que la variable z soit réelle. Alors, si les diverses fonctions de 4, représentées par les diverses racines

Lis Los Las

de l'équation (2), restent réelles elles-mêmes, du moins pour les valeurs de la variable z comprises entre les limites des intégrations relatives à cette variable, la condition à remplir sera que, dans cet intervalle, chacune des racines æ,, æ,, æ,, ... variant avec £ d’une manière continue et par degrés insensibles, soit toujours croissante ou toujours décroissante pour des valeurs croissantes de z. Ajoutons que, si une ou plusieurs racines de l'équation (2) deviennent imaginaires entre les limites de l'intégration relative à 4, la condition énoncée devra être séparément vérifiée pour les deux quantités variables qui, dans chaque racine imaginaire, représenteront la partie réelle et le coefficient de ÿ— 7.

Lorsque les deux limites de l'intégration relative à £ sont assez rapprochées l’une de l’autre pour que les racines réelles ou imaginaires de l’équation (2) satisfassent toutes aux conditions que nous venons d'indiquer, on peut substituer la formule (11) à la formule (3). Si d’ailleurs la condition (5) se vérifie à son tour, l'équation (6), jointe

à la formule (11), donnera

(12) FE k, D à Re E =: 0, et, en différentiant l'équation (12), on obtiendra l'équation différentielle

(13) kdz;,+k. dæi:+...—o.

Si l'équation (2), résolue par rapport à æ, offrait quelques racines qui fussent indépendantes de la variable #, alors, comme je l'ai remarqué dans la précédente séance, les intégrales correspondantes à ces racines disparaîtraient d’elles-mêmes dans la somme représentée par s, par conséquent dans les formules (3), (11), (12) et (13). On pourra donc toujours se borner à prendre pour

Lis Los ..

dans les formules (12) et (13), celles des racines de l'équation caractéristique qui dépendront de la variable #.

Lorsque F, Z, ..., T sont des fonctions entières des variables æ, 7, ..., t, le premier membre F(x, 2) de l'équation caractéristique est lui-même une fonction entière des variables +, 4, et cette équation, résolue par rapport à æ, offre un nombre fini de racines. Si l’on nomme V ce nombre, ou plutôt le nombre de celles qui dépendent de la variable #, l'équation (13), dont le premier membre renfermera seulement N termes, sera de la forme

(14) ki da; + kadto+...+ kydxy—=o.

Considérons en particulier le cas où les variables æ, y, ..., 4 se réduisent à trois, et les formules (1) aux deux équations

(1) n— Æ—=o, Y=U EN

U, V, X étant trois fonctions entières de æ, les deux premières du degré m, la troisième du degré m7. Alors l'équation caractéristique,

PRNERARTS 1e

4€ DNIVE RSITY |

réduite à la forme

(16) (TÉL UT Lo

sera elle-même du degré mn par rapport à æ; en sorte qu’on aura généralement

(17) NERM,

| NAT si l’on suppose

(18) Æ = Vi UW,

W étant une fonction entière de x du degré (7 — 1}m, l'équation (16) se décomposera en deux autres |

(20) Une + nUrVir1+.. + nVr1t+W—o,

dont une seule, savoir la seconde, renfermera ?; et comme l’équation (20) sera du degré (72 — 1)m par rapport à æ, il est clair que, dans la supposition dont il s’agit, on aura seulement

Soit d’ailleurs 0 une racine ri" de l’unité choisie de manière que, æ étant une racine de l’équation (20), on ait pour £ —7,

(22) Ut+V—0Æ#r, et nommons À, À ee | À 6, de, té ES Ov

les diverses valeurs de X et de 0 correspondantes aux diverses racines Lis Toy .….., Ty

de l’équation (20). Enfin désignons par / un nombre entier inférieur à n, et par &(x) une fonction entière de æ, d’un degré inférieur à ml— 1. On tirera de la formule (14), ainsi que nous l'avons déjà

remarqué dans la précédente séance,

0 i 1 (23) ŒUX, "o(zi)de+ OX, "o(z,)dr,+...+ 014, "o(æx)dæy— 0.

Si dans cette dernière équation l’on remplace successivement &(x) par les divers termes de la suite fn du LES re on obtiendra zr{ — 1 équations différentielles entre les N variables M D 614

et par conséquent le nombre de ces équations différentielles sera égal au nombre des variables, diminué de l’unité, quand on aura

ml—i=N—:, m=N—(n—:1)m, ou, ce qui revient au même, (24) Enr:

Alors, en effet, la formule (23) fournira entre les N variables x,, Les ..., Æy les N — 1 équations différentielles

1 1 0,4% ‘dr,+ BAT dr+. + 0,4% dry— 0, | 1 (25) DAT dr, + BAT xidr,+. + 0,4% zydry—0,

1 1 1 RE Se HO -—1 GAY aldr,+0,47 aN?dx,+...+0, 4% AY d& y 0, la valeur de N étant toujours N — (7 — 1}m.

D'autre part, si, dans l’équation (20), on substitue successivement à x les diverses variables |

Lis Lay +..3 ήN

qui représentent les diverses racines de cette même équation, on obtiendra N équations algébriques, qui pourront être réduites, par l’élimination de #, à N — 1 autres équations, pareillement algébriques, et propres à représenter N — 1 intégrales des N — 1 équations différen-

tielles comprises dans le Tableau (25). Il y a plus : les intégrales dont il s’agit pourront être aisément déduites de la formule (22) qui subsiste, aussi bien que l'équation (20), non seulement pour £— 7, mais encore pour toute valeur de la différence : — 7 qui ne dépasse pas les limites entre lesquelles subsistent les intégrales elles-mêmes. En effet, l'équation (22), linéaire par rapport à #, peut être présentée sous la forme QA"— V et si l’on nomme

U,;, U:, .. Ur, V;, Vas BAT | Vr

les valeurs de U et de V correspondantes aux valeurs æ,, æ,, ..., x, de la variable x, on tirera de la formule (26)

1 1 1 (27) NAME MAR Et xls D

Or, les équations (25) étant données avec la fonction X, les N — r équations algébriques que comprend la formule (27) représenteront en réalité N — 1 intégrales des équations (25), si les fonctions du degré me, désignées par deux lettres U, V, sont choisies de manière à vérifier la formule (18), ou, ce qui revient au même, de manière que le polynôme U divise algébriquement la différence X — V", et que le quotient W soit du degré m(n — 1). D'ailleurs ces dernières conditions seront évidemment remplies si, après avoir choisi V arbitrairement, on prend pour U un des diviseurs algébriques, et du degré 7», de la différence X — V*, D'autre part, ces diviseurs algébriques devant être censés connus dès que V lui-même est connu, nous devons conclure que, dans les N — r intégrales représentées par la formule (27), le nombre des constantes arbitraires ne pourra surpasser le nombre des constantes renfermées dans la fonction V. A la vérité, les diviseurs algébriques, et du degré m, de X#— V ne sont complètement déterminés que dans le cas où l’on donne une relätion à laquelle doivent

satisfaire un ou plusieurs de leurs coefficients, dans le cas, par exemple, où l’on réduit le coefficient de æ” à l'unité. Mais, pour passer de ce cas particulier au cas général où le coefficient de x" est une constante arbitraire e, il suffit de multiplier par cette constante le diviseur algébrique que l’on considère, et il est clair que la formule (27) ne sera point altérée si l’on substitue à la fonction U le pro-

duit SU, par conséquent, aux termes de la suite

À U;, U», LICE Ur, les termes de la suite DU. OU... COUR

On pourrait, sans altérer les équations (25), remplacer la fonction X” 1 1

par la fonction À X”, ou, ce qui revient au même, la fonction X par ÀAX, À étant un facteur constant. Mais il est clair qu’en opérant ainsi on n’augmenterait pas la généralité des formules (27), ni le nombre

des constantes arbitraires qu’elles renferment. Car, en substituant, 1 1

f dans les formules (27), NX" à X*, on produit le même effet que si l’on y substituait à V l'expression À “V, propre à représenter, ainsi que V, une fonction entière de æ, du degré m2.

En résumé, si, après avoir choisi V arbitrairement, on prend pour U un diviseur algébrique de X*—V, les N—1 intégrales comprises dans la formule (27) représenteront un système d’intégrales des équations (25); mais le nombre des constantes arbitraires comprises dans ces intégrales ne pourra surpasser le nombre » +1 des constantes comprises dans la fonction V. Donc, par suite, les intégrales trouvées ne pourront être générales que dans le cas où, le nombre 72 + 1 étant égal ou supérieur au nombre N — 1 des équations différentielles, on

aura m5 N—,

par conséquent, eu égard à la formule (21),

Ajoutons que les équations (25) supposent N—r1>o, ou, ce qui revient au même,

Les conditions (28), (29) sont précisément celles que nous avons indiquées dans le précédent Mémoire, page 92. Ce n’est pas tout : si, en nommant À un facteur constant, on pose

train V'=AU + V, la formule (22) deviendra (30) Ut + VI=047,

et U ne pourra être un diviseur algébrique de X — V” sans être en même temps un diviseur algébrique de X — V'’". Cela posé, au lieu d'éliminer £ entre les N — 1 équations déduites de la formule (22), on pourra évidemment éliminer 4’ entre les N — 1 équations déduites de la formule (30); et, après avoir ainsi obtenu sous une forme nouvelle les N — 1 intégrales des équations (25), on prouvera encore que le nombre des constantes arbitraires comprises dans ces intégrales ne peut surpasser généralement le nombre des constantes comprises dans la fonction V’. Mais, d’autre part, on pourra disposer du facteur À de manière à faire disparaître dans V’ le coefficient de +”, et alors le nombre des constantes que renfermera V' sera réduit à »m. Donc les N — 1 équations algébriques comprises dans la formule (27) renfermeront au plus » constantes arbitraires, et ne pourront être les intégrales générales des équations (25) que dans le cas où l’on aura

mEN— 1; par conséquent, eu égard à la formule (21), (31) m(n—2)=1.

On peut donc à la condition (28) substituer la condition (31), qui

restreint encore plus le nombre des cas où les N — 1 intégrales trouvées peuvent représenter Le système des intégrales générales des

équations (25). En effet, pour que les conditions (29) et (31) se vérifient, il faut nécessairement que l’on ait, ou

(32) MIS, m=2 ou (33) Hs ME I.

Dans le premier cas, on tire de la formule (27) l'intégrale générale de l'équation d’Euler, cette intégrale étant réduite à la forme que Lagrange lui a donnée, et les intégrales du même genre que M. Richelot a obtenues pour les équations différentielles qui, suivant la remarque de M. Jacobi, se trouvent intégrées en vertu des théorèmes d’Abel. Dans le second cas, les formules (25) se réduisent à la seule équation

2 22 (34) 6,4, ‘dx, +84, dx; —0,

0,, 0, étant des racines cubiques de l’unité, et X un polynôme en x du troisième degré ou de la forme

(35) ZA = A+ Br+ Cx+ D.

Alors aussi la formule (27) donnera

1 £ DR DA y, Ü; sr U,

U, V étant deux polynômes du degré m — 1, c’est-à-dire deux fonctions linéaires de æ, dont la première devra diviser la différence

A — Vi,

D'ailleurs, d’après ce qui a été dit ci-dessus, on pourra, sans diminuer la généralité de la formule (36), réduire le coefficient de x, dans la fonction U, à l'unité, et, dans la fonction V, à zéro, par conséquent, réduire V à une simple constante c, et U à ‘un binôme de la forme

OEuvres de C. — S. 1,1. X. 14

æ — a. Donc la formule (36) pourra être réduite à

1 1 045—c 6Æi—0c

et la formule (37) sera une intégrale de l’équation (34) si, en attribuant à la constante c une valeur arbitraire, on représente par æ — a un diviseur algébrique de la différence

Æ — ci,

en sorte que a désigne une racine de l’équation HEC

e£soit lié à c par la formule

(38) A&+ Ba +Ca+D—c.

Or il est clair que, sous ces conditions, la formule (37), dans laquelle la constante c restera entièrement arbitraire, représentera, non pas une intégrale particulière, mais l'intégrale générale de léquation (34).

Si la fonction X devenait constante, en se réduisant par exemple à l'unité, alors la différence X — c*, réduite à 1 — c*, ne pourrait plus acquérir un diviseur algébrique de la forme æ—a sans s’évanouir; et, en effet, l'équation (38), réduite à

Di Pet,

fournirait, pour la constante c, une valeur déterminée qui pourrait être l’unité. Mais, en vertu de la supposition c—1, la différence X — c%, réduite à zéro, acquerrait, pour diviseur algébrique, l'un quelconque des binômes de la forme æ — a, la constante a restant arbitraire; et la formule (37) donnerait

Enfin, comme, dans le cas dont il s’agit, æ,, x, représenteraient celles

EXTRAIT N° 335. 107 des racines de l’équation

qui seraient distinctes de la racine à, il ést clair que 0,, 0, seraient les deux racines cubiques et imaginaires de l'unité. En conséquence, l'équation (39), dans laquelle a resterait arbitraire, donnerait

0x; + 0%e = Const.

‘Or cette dernière formule est effectivement l'intégrale générale de l'équation (34), dans le cas où, la fonction X se réduisant à l'unité, l'équation (34) elle-même se réduit à

0, dx, + 0, dx, = 0.

L’équation (27) est irrationnelle, puisqu'elle renferme des puis-

sances fractionnaires de la forme X”". Dans un autre article, je parlerai des formes rationnelles sous lesquelles se présentent les intégrales des équations (25), quand on les déduit, non plus de l'équation (22), mais de l’équation (20), et j'examinerai les relations que la formule (22) établit entre la valeur particulière * de £, les constantes 0,, 6,, ..., 0, et les valeurs initiales E,, &,, ..., £, des variables x,,

Lys .. y.

CALCUL INTÉGRAL. — Mémoire sur la détermination complète des variables

propres à vérifier un système d'équations différentielles.