C.R., T. XXII, p. 485 (7 septembre

Ce Mémoire est surtout relatif à l’usage remarquable que l’on peut faire de la formule d’interpolation de Lagrange pour intégrer certains systèmes d'équations différentielles, et à ce qu’on pourrait appeler les sinus et cosinus des divers ordres, c’est-à-dire aux fonctions inverses

des intégrales binômes. L'auteur établit, entre autres choses, la pro-

position suivante :

Soit

(1) f(x, 7)=0 une équation entre deux variables æ, y. Soient, de plus, 9,(x), 0 (x), ARE On(z)

des valeurs de y en æ, distinctes ou non distinctes, tirées de cette

équation, et is, Nas +5 Nm

ce qu’elles deviennent quand on attribue à la variable x les valeurs

particulières

Es Es, bia | “in

Soit encore une fonction entière de æ du degré m—71, et déterminée à l’aide de la formule d’interpolation de Lagrange, de telle sorte

qu’elle acquière les valeurs particulières Mis Ma +.) my pour les valeurs particulières Es Ex +. En de la variable æ. Enfin, posons

(2) f(x, p)=u(x —EËE)(æ—Ë:)...(x —E»), :

(3) F(x,t)= f(x, ut+e),

t étant une nouvelle variable; et nommons Us Us DE | Un 5 V1 Pas PRE | Fr

ce que deviennent w et e quand on y remplace successivement x par

m variables distinctes ; Lis Lay REA ? Lyme

Si l’on ne diminue pas le nombre des racines de l'équation (4) Fiat}: 0,

résolue par rapport à +, en y posant { — 0, et si d'ailleurs, en nommant f(x, y) une nouvelle fonction de x, y, on a

sf(x,ut+ve)D,F(x,t) G) De Pr e

il suffira de déterminer les variables æ,,æ,, ..., æ,, à l’aide de la for-

mule

(6) (ts) — 91 On(t2)— Ve Om(Em) 9m

ü U Un

pour qu’elles aient la double propriété de vérifier l’équation différen-

tielle

(7) f[æ:, CA (æ)] dx; ES LE 7 On (Lrn)] are Q et d'acquérir simultanément les valeurs particulières correspondantes

Ërs Éas EE à us

et par suite, si l’on peut satisfaire à la condition (5) par #2 — 1 valeurs essentiellement distinctes de la fonction f(x, y}, les » — 1 équations différentielles correspondantes, comprises dans la formule (7), auront pour intégrales générales Le système des » — 1 équations finies comprises dans la formule (6). Ce théorème subsiste dans le cas

même où les fonctions de x désignées par d,(æx), 43 (x), Me Om(z)

ne seraient pas distinctes les unes des autres, et représénteraient une

seule des racines de l'équation (1).

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Rapport sur un Mémoire qui a été présenté à l’Académie par M. FÉuix Cuio, et qui a pour titre : Rechérches sur la série de Lagrange.