C.R., T. XXII, p. 490 (7 septembre

L'Académie nous a chargés, M. Binet et moi, de lui rendre compte d'un Mémoire de M. Félix Chio, professeur de Mathématiques à l’Académie militaire à Turin. Ce Mémoire, qui a pour titre : Recherches sur la série de Lagrange, est divisé en quatre paragraphes.

Dans le premier paragraphe, l’auteur, après avoir rappelé le théoreme général donné par l’un de nous sur la convergence du développement d'une fonction en série ordonnée suivant les puissances ascen-

dantes de la variable, applique ce théorème à la série de range, et

parvient ainsi, pour cette séri e rè onvergence qui COIneide avec la règle énoncée ome I des Exercices d'Analyse et de

Physique mathématique | pages 279 et 280 (‘)]. En effet, l'équation u—x+tf(x) =,

dont une racine æ se développe par la série de Lagrange suivant les puissances ascendantes de £, se réduit à la forme

J—=tw(y)

lorsqu'on pose æ — u — y, et, par conséquent, la règle donnée dans les Exercices pour la convergence de la série qu’on obtient en développant, suivant les puissances ascendantes de 4, la valeur de y tirée de la seconde équation, s'applique aussi au développement de æ, qui ne diffère du développement de y que par l'addition de la constante w. La règle de convergence de la série de Lagrange étant établie, lauteur du Mémoire a discuté les divers résultats que cette règle peut

(1) Œuvres de Cauchy, S. H, T. XI.

fournir, eu égard aux diverses valeurs qu’on peut attribuer au paramètre u. Cette discussion est lumineuse. Pour une valeur donnée de 4, par exemple pour £=7+, les diverses valeurs de æ développables en séries convergentes par la formule de Lagrange correspondent, comme M. Chio le fait voir, à divers systèmes de valeurs de w comprises entre certaines limites, et chacun de ces systèmes renferme une ou plusieurs racines de l'équation

JiHraro

Nommons v l’une de ces racines, prise parmi celles que renferme le système auquel appartient la valeur donnée de w, et supposons cette valeur très rapprochée de v, en sorte que la différence

tee: 0)

soit très petite. Si le paramètre «w se réduit précisément à la racine v, la condition de convergence de la série de Lagrange sera que le module de la fonction dérivée f’(v) devienne inférieur à l’unité. Si, au contraire, « diffère de v, et w de zéro, la condition de convergence sera que le module de f’(#) soit inférieur à l'unité, + étant une racine de l'équation auxiliaire

(e— u) fe) — f(e)— 0.

Or M. Chio observe que, dans le cas où l’on a u — v, l'équation auxiliaire, réduite à (w—v)f(s) —f(r)—=0

et résolue par rapport à », offre une racine double ou multiple, savoir : une racine double, si f’(v) diffère de zéro; une racine triple, si, f’(u) étant nul, f"(u) diffère de zéro; une racine quadruple, si, f’(v) et f'(v) étant nuls, /'"(u) diffère de zéro, et ainsi de suite; puis il montre que, pour de très petites valeurs de w, v sera développable,

s 1 dans le premier cas, suivant les puissances ascendantes de w*; dans

+ à le second cas, suivant les puissances ascendantes de w°; dans le troi-

sième cas, suivant les puissances ascendantes de w*; etc. Il montre,

de plus, que si l’on a f(v)=0,

la valeur de v, correspondante à de très petites valeurs de w, sera développable par la formule de Lagrange suivant les puissances ascendantes et entières de w.

Le second et le troisième paragraphe du Mémoire de M. Chio se ‘rapportent spécialement au cas où, les paramètres &, & étant réels, la fonction f(x) est réelle elle-même, et l’auteur s’est appliqué à découvrir quel est alors le caractère spécial de la racine fournie par la série de Lagrange. Dans la Note XI de la Résolution des équations numériques, Lagrange avait affirmé que la valeur de æ, dont sa série offre le développement, est numériquement la plus petite des racines de l’équa-

tion u—xz+f(x)=0.

M: Chio fait voir que cette proposition est souvent en défaut, et la remplace par une proposition nouvelle et digne de remarque. Il partage les racines réelles de l'équation donnée en deux classes, formées, l'une avec les racines supérieures, l’autre avec les racines inférieures au paramètre uw, et prouve que la racine représentée par la série de Lagrange est toujours, parmi celles qui font partie de la même classe, la plus voisine de ce paramètre. Il vérifie ensuite cette proposition nouvelle sur des exemples dans lesquels on serait conduit, par l’'énoncé de Lagrange, à des résultats inexacts.

L'autorité de Lagrange est d’un tel poids en Analyse, qu'on ne saurait prendre trop de précautions pour se garantir de toute erreur, avant d'adopter une opinion contraire à celle de l'illustre géomètre. On doit donc louer M. Félix Chio du soin avec lequel il a, dans son Mémoire, approfondi le sujet que nous venons de mentionner. Pour le même motif, il nous a semblé qu'il ne serait pas sans intérêt de rendre manifeste l'erreur que M. Chio a signalée, dans un cas tellement simple, que, pour la reconnaître, il ne fût point nécessaire de

calculer numériquement les divers termes de la série obtenue, ni même d'effectuer le développement en série. Or on peut aisément y parvenir, comme on le verra dans une Note jointe à ce Rapport, en réduisant la fonction /(æ) à un trinôme du second degré.

M. Félix Chio ne s’est pas borné à démontrer l'inexactitude de la proposition énoncée par Lagrange, et à indiquer le théorème qui doit lui être substitué. Il a encore, dans le troisième paragraphe de son Mémoire, recherché et expliqué les circonstances particulières qui rendent insuffisante la démonstration que Lagrange a donnée à l'appui de cette proposition.

M. Chio a de plus, dans les deux derniers paragraphes de son Mémoire, établi divers théorèmes qui peuvent être utiles quand on se propose d'appliquer la série de Lagrange à la résolution numérique des équations. On sait, au reste, que ce dernier sujet a déjà été traité par l’un de nous sous un point de vue général, dans les Comptes rendus de l’année 1837, et que, sans connaître, a priort, la valeur approchée d'aucune racine, on peut, à l’aide de développements en séries, débarrasser une équation de degré quelconque des racines imaginaires qu’elle peut avoir, puis ensuite développer immédiatement en séries convergentes chacune des racines réelles.

Ce que nous avons dit suffit pour montrer tout l'intérêt qui s'attache aux recherches de M. Félix Chio sur la série de Lagrange. La sagacité dont l’auteur a fait preuve en traitant avec succès des questions importantes et délicates mérite d’être remarquée. Nous pensons que son Mémoire est très digne d’être approuvé par l'Académie et inséré dans

le Recueil des Savants étrangers.

OEuvres de C. — S, 1, t. X. 19

[ai 39 1.

Note pe M. CAUCHY, RAPPORTEUR.

Sur les caractères à l’aide desquels on peut distinguer, entre les diverses racines d’une équation algébrique ou transcendante, celle qui se déve-

loppe en série convergente par le théorème de Lagrange. C. R., T. XXII, p. 493 (7 septembre 1846). D'après la proposition énoncée dans la Note XI de la Résolution des

équations numériques, la série qu’on obtient en développant, suivant les puissances ascendantes de £, la valeur de æ fournie par l'équation

(1) u—x+tf(x) —=0,

serait toujours, pour des valeurs réelles des paramètres & et , celle des racines qui est numériquement la plus petite. Pour constater l’inexactitude de cette proposition, il suffit de poser, dans l’équation (1),

(2) f(æ)=x+ ax + b,

a et b étant réels. Alors on trouvera

1—at+Vi—o(a+ou)t+(&—4b)r

(3) © er.

Si, pour plus de commodité, on fait disparaitre, sous le radical, le carré de #, en prenant

J AN 2 Dr 74 ,

la formule trouvée deviendra

1—at+Vi—2(a+ 2u)t

(hs 2 x —

Or, si u est assez rapproché de — a, ou { de zéro, pour que la valeur

numérique du produit (a+ou)t

reste inférieure à À, le radical compris dans la formule (4) sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de 4, le premier terme de la série étant l'unité. Donc alors la valeur de +, fournie par la série de Lagrange, qui ne contient que des puissances entières et positives de 4, coincidera nécessairement avec la valeur de + que l’on tire de l’équation (4), en réduisant le double signe au signe —. Mais cette dernière valeur de +, comparée à celle qu’on obtiendrait en réduisant le double signe au signe +, sera évidemment, ou la plus rapprochée, ou la plus éloignée de zéro, suivant que la différence 1 — at sera positive ou négative. Donc la racine fournie par la série de Lagrange ne sera pas toujours la plus petite numériquement, c’est-à-dire la plus voisine de zéro, et la proposition énoncée dans la Résolution des équations numeriques est inexacte.

On arrive encore à la même conclusion, en observant que les deux équations

Lere(r) Y—u—tæ(y—u)

offrent des racines correspondantes liées entre elles par la formule

et que, si une racine « de l'équation

(3) : æ=two(x)

est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de £, on pourra en dire autant de la racine correspondante & + u de l'équation

Or, soient a

les diverses racines réelles de l'équation (5). Si l'énoncé de Lagrange était exact, non seulement & serait le plus petit terme de la suite

7 (ONE - EL" PARRDECE

si HR COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

c'est-à-dire le plus rapproché de zéro, mais en même temps & + serait le plus petit terme de la suite

A+ u, ÊHUTU

c'est-à-dire le plus rapproché de zéro, quelle que fût d’ailleurs la valeur attribuée à z. Mais évidemment cette conséquence nécessaire de la proposition énoncée ne saurait être admise, puisqu'on peut disposer de &# de manière à rapprocher indéfiniment de zéro ou même à faire évanouir l’un quelconque des termes de la seconde suite, choisi arbitrairement.

Disons maintenant quelques mots du véritable caractère qui distingue, entre les racines de l’équation (1), celle qui se développe en série convergente par le théorème de Lagrange, et montrons comment ce caractère pourrait se déduire des principes énoncés dans les divers Mémoires où je me suis occupé de la résolution des équations algébriques ou transcendantes (").

Soient T, DA

deux variables réelles, considérées comme propres à représenter dans un plan deux coordonnées rectangulaires, et z une variable imaginaire

liée à æ, y par la formule say ÿ rt.

A chaque valeur de : correspondra un système déterminé de valeurs de æ, y, par conséquent un point déterminé du plan des æ, y. Soient d'ailleurs 5(:), I(2) deux fonctions continues de 3, et supposons la

valeur de z déterminée par l’équation

(7) H(:)+tw(:)—0,

(1) Woir en particulier le Mémoire de novembre 1831 (*), sur les rapports qui existent entre le calcul des résidus et le calcul des limites, lithographié à Turin, et réimprimé par la Société ilalienne, et les Comptes rendus des séances de l’Académie de l’année 1837.

(4) Œuvres de Cauchy, S. WU, T. XV

EXTRAIT No 337. 117

dans laquelle entre un paramètre variable z. Enfin supposons que, T'étant le module du paramètre 4, on construise le système de courbes représentées par la formule

IT (z) 8 ES MOod, - .

Conformément aux observations faites dans les Comptes rendus de 1 837,

ces courbes seront fermées et de deux espèces, les unes s'étendant de

plus en plus, et les autres se rétrécissant de plus en plus, pour des. valeurs croissantes du module T. Quand T sera nul, l'équation (7),

réduite à

(9) Hir)z 0,

offrira un certain nombre #2 de racines

auxquelles correspondront divers points ME AT...

situés dans le plan des +, y; et alors chacune des courbes de première espèce sera réduite à l’un de ces points. Quand T sera très petit, les courbes de première espèce, dont le nombre sera encore égal à m, .……, et dont chacune renfermera dans son intérieur un seul des points