C. R., T. XXII, p. 563 (21 septembre

On connaît le rôle important que jouent les expressions imaginaires, non seulement dans la résolution des équations algébriques ou transcendantes, mais encore dans un grand nombre d’autres problèmes. Ainsi, par exemple, c’est en considérant les valeurs imaginaires d’une variable que l’on parvient à la condition de convergence de la série qui représente le développement d’une fonction suivant les puissances ascendantes de cette variable; et c’est aussi sur le passage du réel à l'imaginaire que repose, dans le calcul des résidus, l’établissement de formules générales propres à la transformation ou même à la détermination d’un grand nombre d’intégrales définies. Il était donc naturel de penser que, dans la théorie de l'intégration des équations différentielles, des résultats nouveaux et inattendus devraient sortir

de la considération directe des intégrales imaginaires, non pas restreinte à quelques cas particuliers déjà traités par les géomètres, mais étendue à tous les cas possibles. C’est, en effet, ce qui arrive. Ayant dirigé mes recherches de ce côté, je suis parvenu, non seulement à porter la lumière dans des questions délicates qui n’avaient, pas été suffisamment éclaircies, mais encore à établir des théorèmes nouveaux qui, en raison de leur généralité, me paraissent dignes d'attention. Avant de les indiquer, il me semble utile, afin d’être parfaitement compris, de bien fixer le sens des expressions dont je me servirai dans la suite, et de dire avec précision ce que j'entends lorsque je parle des intégrales particulières ou générales, réelles ou même imaginaires, d’un système donné d'équations différentielles. Ainsi que je lai remarqué dans les Leçons données à l’École Polytechnique, un système quelconque d’équations différentielles peut toujours être réduit à un système d'équations différentielles du premier ordre. D'ailleurs, étant données » équations différentielles du

premier ordre entre 2 + 1 variables

on pourra toujours considérer une des variables £ comme indépendante, et les dérivées des autres variables comme déterminées par le système de ces équations différentielles, en fonctions explicites ou du moins implicites de æ, y, 3, ..., 4. D'ailleurs la connaissance de ces dernières fonctions ne fournira pas le moyen de fixer complètement les valeurs générales des variables dépendantes +, y, 3, ...; et, pour que l'intégration des équations différentielles données se réduise à un problème déterminé, il sera nécessaire d’assujettir encore les variables dépendantes æ, y, z, ... à prendre certaines valeurs initiales E, mn, 6, ,

réelles ou imaginaires, pour une certaine valeur initiale + de la variable indépendante . Lorsque ces valeurs initiales seront connues avec les fonctions de æ, y, z, ... ci-dessus mentionnées, les valeurs générales

de æ, y, z, ... seront pour l'ordinaire complètement déterminées, c’est-à-dire qu'à une valeur réelle ou imaginaire de la variable indépendante £ correspondront généralement des valeurs déterminées, réelles ou imaginaires, de toutes les autres variables. Ces valeurs seront fournies, ou par des équations algébriques ou transcendantes, si les équations différentielles sont intégrables en termes finis, ou par des développements en séries, ou bien encore elles seront les limites vers lesquelles convergeront les résultats approximatifs, déduits de la méthode que j'ai donnée dans mes Lecons à l'École Polytechnique, et qui offre cet avantage, qu’elle est toujours applicable, quelle que soit la forme des équations différentielles. Dans tous les cas, les formules qui fourniront les valeurs des æ, y, z, ... représenteront un système d'intégrales particulières des équations différentielles proposées, si l’on attribue aux valeurs initiales &, n, €, ... des variables æ, y, #, des valeurs déterminées, et le système des intégrales générales, si l’on considère les valeurs initiales de æ, y, z, ... comme des constantes arbitraires. Ainsi, le problème de l'intégration d’un système d’équations différentielles se réduit, en réalité, à la recherche d’un système quelconque d’intégrales particulières de ces mêmes équations. Les intégrales générales ne sont autre chose que des formules générales qui comprennent et embrassent toutes les intégrales particulières; et, si celles-ci ne peuvent être toutes renfermées dans un seul système de formules générales, il faudra, pour que les intégrales générales puissent être censées complètement connues, que l’on connaisse les divers systèmes de formules générales qui renfermeront les divers systèmes d’intégrales particulières. Si une intégrale particulière était isolée de manière à ne pouvoir être comprise avec d’autres dans une même formule générale, elle serait du genre des intégrales qu’on a nommées solutions particulières ou intégrales singulières des équations différentielles.

D'après ce qu'on vient de dire, intégrer z équations différentielles entre # + 1 variables, c’est tout simplement passer d’un système donné de valeurs de ces variables à un autre système, en prenant l’une des

OEuvres de C.— S.1,t.X. 19

variables pour indépendante. Si, comme ci-dessus, on nomme

OR rod

les diverses variables, et

E, 1; Rite nes: Æ

leurs valeurs initiales, £ étant la variable indépendante, les différences æ—EË,y—1n,3—€,... seront de véritables intégrales définies, prises par rapport à #, à partir de l’origine *, les fonctions sous le signe f étant des fonctions des diverses variables considérées elles-mêmes comme fonctions implicites de 4. Ces différences seront généralement de la nature des transcendantes que j'ai considérées dans mon Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires, puisqu'on peut supposer imaginaires, non seulement les fonctions sous le signe #, mais encore la valeur initiale et la valeur finale de la variable: indépendante £. D'ailleurs ces intégrales pourront, dans tous les cas, être déterminées, et même de plusieurs manières, avec une exactitude aussi grande qu’on le voudra, soit à l’aide de développements en séries, soit à l’aide de la méthode d'intégration précédemment rappelée. Pour faire mieux saisir ce que j'ai à dire à cet égard, et peindre en quelque sorte aux yeux la marche du calcul, je vais en donner ici une interprétation géométrique.

Considérons, dans la variable indépendante £, la partie réelle et le coefficient de ÿ—1 comme propres à représenter les coordonnées rectangulaires d’un point P mobile dans un plan horizontal. A chaque valeur déterminée de 4 correspondra une position déterminée du point P, et réciproquement. Nommons d’ailleurs origine le point O du plan qui correspond à la valeur initiale + de #, et joignons cette origine au point P par une ligne droite ou courbe. Si l’on nomme s la longueur mesurée sur cette ligne depuis l’origine O jusqu'à un point quelconque intermédiaire entre O et P, l'intégrale imaginaire qui représente la valeur de la différence æ — £ pourra être transformée en une intégrale relative à la variable réelle s. Or, quand on arrivera au point P, la valeur de cette dernière intégrale restera généralement

indépendante de la ligne droite ou courbe que l’on aura suivie. Cependant le contraire peut arriver, et, afin de ne laisser rien d’arbitraire dans la détermination des intégrales d’un système d'équations différentielles, 1l convient de fixer la nature de la ligne’ sur laquelle se mesure la longueur s. J’appelle értégration reculigne celle qui fournit les valeurs des intégrales dans le cas où la ligne est droite, ce qu’on suppose ordinairement quand il s’agit de calculer des intégrales réelles. L'intégration deviendra curviligne dans le cas contraire.

Il arrive quelquefois que, dans l'intégration rectiligne ou curviligne, la fonction sous le signe Je devient infinie en un point de la ligne OP, sur laquelle on marche, et alors la valeur de l'intégrale définie qui représente la différence æ — £ peut devenir indéterminée. Dans ce cas aussi, en remplaçant la ligne OP par une ligne infiniment voisine, on verra souvent l'intégrale définie changer brusquement de valeur. Cette circonstance très remarquable offre quelque analogie avec celle que j'ai autrefois signalée, en observant que les valeurs des intégrales définies doubles peuvent varier avec l’ordre dans lequel s'effectuent les intégrations. Elle permet d’éclaircir et d'expliquer certaines formules, que l’on pourrait appeler paradoxales, données par quelques géomètres, et entre autres par Poisson, dans le XVIIIe Cahier du Journal de l’École Polytechnique. On reconnait ainsi, par exemple, que la valeur imaginaire attribuée par Poisson à l'intégrale

dx La

prise entre les limites réelles o et «æ de la variable x supposée réelle, est précisément la valeur d’une intégrale imaginaire produite par une intégration rectiligne relative à une droite qui s’écarte très peu de l'axe des æ; mais, en même temps, on reconnaît que, de l’autre côté de l'intégrale réelle, se trouve une seconde intégrale imaginaire, et que la demi-somme des deux intégrales imaginaires est la valeur principale de l'intégrale réelle.

A l'observation que je viens de faire, j'en joindrai une autre qui

est encore plus importante : c’est que les résultats d’une intégration effectuée suivant un mode déterminé, par exemple les résultats de l'intégration rectiligne, dépendent, non seulement des valeurs initiales des variables, mais encore généralement du choix de la variable que l’on considère comme indépendante. Les valeurs initiales des variables restant les mêmes, si l’on prend pour variable indépendante, d’abord la variable #, puis la variable æ, les intégrales obtenues dans les deux cas ne s’accorderont généralement qu'entre certaines limites. La raison en est facile à saisir. Lorsque l’on considère t comme variable indépendante, alors, pour trouver la formule ou le système de formules qui représente les intégrales complètes, on doit successivement attribuer à # toutes les valeurs possibles réelles ou imaginaires. Mais, à ces diverses valeurs de £ pourront répondre, en vertu des formules trouvées, des valeurs de æ qui demeurent toutes comprises entre certaines limites. Donc, en renversant les formules trouvées, on ne pourra en déduire que les valeurs de £ correspondantes à des valeurs de æ comprises entre ces limites. Il y a plus : je prouve que, pour l'ordinaire, on devra restreindre encore ces limites quand on voudra obtenir des valeurs de £ en æ qui coincident avec celles que fournirait l'intégration directement effectuée dans le cas où l’on prendrait æ pour variable indépendante.

J'appelle irtégrales relatives à t celles qui se rapportent au cas où l'on prend # pour variable indépendante. D’après ce qu’on vient de dire, les valeurs initiales des variables étant données, les intégrales relatives à £ ne fourniront qu'entre certaines limites les intégrales relatives à æ. Pour compléter ces dernières intégrales, on sera donc obligé de recourir à d’autres intégrales relatives à #, savoir à celles qu'on obtient quand on modifie les valeurs initiales des variables. Mais quelles modifications successives doit-on apporter à ces valeurs pour obtenir une suite d’intégrales relatives à z, desquelles on puisse déduire les intégrales relatives à æ et comment doit-on s’y prendre pour passer des unes aux autres sans calculs inutiles? C'est. ce qu'il importe d'examiner. L'opération qui sert à effectuer ce passage, et

j EXTRAIT N° 3h43. 119

que je nomme l’inversion, doit être évidemment soumise à des règles fixes. On trouvera dans mon Mémoire ces règles, qui paraissent mériter d’être remarquées, et qui s'appuient sur un théorème très général, dont voici l’énoncé :

TaéorÈme. — L'intégration étant supposee rectiligne, les integrales relatives à la variable x pourront se déduire des intégrales relatives à la variable t, et réciproquement, jusqu'au moment où le module de l’une des différences x — Ë, 1 — x, considéré comme fonction du module primiiwement nul et croissant de l’autre, deviendra, pour la première fois, un maximum. Il ne faut pas oublier d’ailleurs que, dans le cas où il s'agira de calculer le module maximum de la différence x — &, l ‘argu-

ment de cette dernière différence devra être considéré comme constant.

Le passage des intégrales relatives à £ aux intégrales relatives à x introduit souvent dans le calcul des fonctions périodiques. C’est ce qui arrive, en particulier, pour un grand nombre d'équations différentielles entre æ et £, quand le rapport des différentielles des deux variables est exprimé par une fonction de la seule variable 4. Alors l'intégrale relative à æ n’est autre chose que la fonction inverse d’une intégrale définie relative à 4, et souvent cette fonction inverse est périodique, à simple ou à double période. J’examinerai en particulier, dans un autre article, Les fonctions périodiques ainsi obtenues, et je montrerai comment les règles de l’inversion conduisent à la détermination de la période, et comment cette détermination se lie à la théorie des résidus. Je me bornerai, pour l'instant, à observer que les fonctions inverses des intégrales définies n’offrent pas toujours, et pour des valeurs quelconques des variables, les valeurs qui leur ont été assignées dans les Ouvrages même les plus accrédités. Ainsi, par exemple, la fonction inverse de l'intégrale

di == state 2e AVC SET É * it:

n’est point, comme on l’a dit,

fa sin x

mais

a Vcos'x *: 008

sinæ.

Ainsi encore, dans la théorie des fonctions elliptiques, les deux intégrales qui représentent ce qu'on appelle l'argument, et qui renferment sous le signe # la première, une fonction algébrique, la seconde, une fonction trigonométrique, ne sont équivalentes qu'entre certaines limites, entre lesquelles les fonctions inverses de ces intégrales se réduisent à deux variables dont la première est le sinus de la seconde ou de ce qu’on nomme l’amplitude. Hors de ces limites, la fonction inverse de la première intégrale est, ou le sinus de l’amplitude, ou ce sinus pris en signe contraire, suivant que le cosinus de l'amplitude est positif ou négatif.

= Ce que je viens de dire suffit pour donner une idée sommaire des résultats principaux auxquels je suis parvenu. II me restera, pour les faire mieux connaître, à transcrire quelques-unes des formules générales, et la démonstration du théorème fondamental sur lequel s’appuie l’inversion des intégrales d’un système d’équations différentielles.

CaLcuL INTÉGRAL. — Note sur l'intégration d’un système d'équations

différentielles et sur l’inversion de leurs intégrales. C.R., T. XXII, p. 617 (28 septembre 1846).

Soient MR dir |

n +1 variables assujetties : 1° à vérifier » équations différentielles du premier ordre; 2° à prendre simultanément certaines valeurs initiales, réelles ou imäginaires,

Ë, "; 6, ses Te

Si, dans les équations différentielles données, on pose. (1) dx = À dt, dy F dt, ds =2Z dit, ss

on obtiendra »2 équations finies qui détermineront les valeurs de X, Z, Y,... en fonction de x, Vs 3» -.., t3 et, si des valeurs de X, F, Z, ..., propres à vérifier ces équations finies, sont substituées dans les formules (x), il suffira d'appliquer à ces formules l'intégration rectiligne, en considérant : comme variable indépendante, et regardant €, n, CG ...,T comme les valeurs initiales de æ, y, 3, ...,t, pour obtenir un système déterminé d’intégrales.

Soient maintenant

(2) LG, F0, W =,

les x intégrales déduites des équations (1) à l’aide d’une intégration rectiligne ou même curviligne relative à une variable quelconque. Supposons d’ailleurs que, les valeurs initiales &, n, €, ..., x des variables æ, y, 3, ..., demeurant les mêmes, on veuille obtenir les intégrales que fournirait une intégration rectiligne relative à la variable æ. Si l’on pose, dans les formules (2),

æ—#—rerv"1,

r désignant le module et p l'argument de la différence æ — £, ces formules détermineront, pour une valeur donnée de l’argument p et “pour de très petites valeurs du module r, les valeurs correspondantes des variables réelles ou imaginaires

ds Vs 3, ...,

considérées comme fonctions de r. Concevons maintenant que, l’argument p demeurant invariable, on fasse croître le module r par degrés insensibles. Les valeurs trouvées de y, :, ..., { représenteront nécessairement les intégrales cherchées relatives à æ, tant que les formules (2) permettront au module r de croître encore, et tant que ces formules fourniront une valeur unique et finie de chacune des va-

riables 4, y, 3, .... En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante : ;

TaéorÈèmEe. — Supposons les n + 1 variables

ls, Perses vs

assujetties : 1° à vérifier les n équations différentielles (ET TS dx = # dt, dy = F di, dz = Zdt, ES 2° à prendre simultanément les valeurs initiales, réelles ou imaginaires

(2) Use, mm à à Wi=o,

des intégrales qui satisfassent à cette double condition. On pourra, des intégrales (2), déduire celles que fournirait une intégration rectiligne relative à x, jusqu'au moment où le module primitivement nul et croissant de la différence x — E deviendra, pour la première fois, un maximum, st dans l'intervalle les intégrales (2) fournissent pour chacune des variables t, Y, z, .… une valeur unique et finie qui varie avec r par degrés insensibles, ou bien encore jusqu'au moment.où cette dernière condition cessera d'être remplie. Observons d’ailleurs que, dans la recherche du module maximum de la différence x — €, ! ‘argument de cette différence devra

étre considéré comme constant.

En s'appuyant sur le théorème que nous venons d’énoncer, on pourra, des intégrales relatives à une variable quelconque, par exemple des intégrales relatives à #, déduire les intégrales relatives à x, pour une valeur donnée de l’argument p, au moins tant que le module r ne dépassera pas une certaine limite supérieure. Si l’on veut ensuite reculer cette limite, il suffira de recommencer l'opération en prenant pour valeurs initiales de æ, y, 3, ..., t, non plus celles qui correspondent à une valeur nulle de r, mais celles qui correspondent à la limite trouvée, ou du moins à une valeur de r infiniment rapprochée de cette limite. Ajoutons que, en répétant indéfiniment, s’il est néces-

saire, de semblables opérations, on finira par obtenir, dans tous les cas, pour une valeur quelconque de r, les intégrales relatives à æ.

C'est, au reste, ce que j'expliquerai plus en détail dans un autre article.

CALCUL INTÉGRAL. — Consideérations nouvelles sur les intégrales définies qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée, et sur celles qui sont

prises entre des limites imaginaires.