C.R., T. XXII, p. 689 (12 octobre

Les théorèmes généraux que j'ai donnés dans la séance du 3 août dernier, en considérant les intégrales définies qui s'étendent à tous les points d’une courbe fermée, fournissent, comme j'en ai fait la remarque, la solution d’un grand nombre de questions importantes de Calcul infinitésimal, et même d'Analyse algébrique. Mais, en exposant ces théorèmes, dont les applications sont déjà si étendues, je ne m'attendais pas à ce qu'ils fussent eux-mêmes compris comme cas particuliers dans d’autres théorèmes plus généraux dont les applications s’étendaient encore beaucoup plus loin. C’est pourtant ce qui arrive, et ceux dont je vais entretenir un instant l'Académie me paraissent devoir contribuer notablement aux progrès de l’Analyse infinitésimale, puisqu'ils permettent d'établir avec la plus grande facilité une foule de propriétés remarquables des transcendantes représentées par les intégrales définies, et, par conséquent, d’une multitude de fonctions, parmi lesquelles se trouvent comprises les fonctions elliptiques et les transcendantes abéliennes. La bienveillance avec laquelle les géomètres ont accueilli les résultats de mes précédents travaux sur cette matière me fait espérer que l’Académie me permettra d’entrer, à ce sujet, dans quelques détails.

Jusqu'ici, en considérant les intégrales définies qui se rapportent

OEuvres de C. — S.I,t.X. 20

aux divers points d’une courbe fermée décrite par un point mobile dont les coordonnées rectangulaires représentent la partie réelle d’une variable imaginaire æ et le coefficient de ÿ—r dans cette variable, j'avais supposé que, dans chaque intégrale, la fonction sous le signe [ reprenait précisément la même valeur lorsque, après avoir parcouru la courbe entière, on revenait au point de départ. Mais rien n'empêche d'admettre que, dans une telle intégrale, la fonction sous le signe /, assujettie, si l’on veut, à varier avec x par degrés insensibles, acquiert néanmoins des valeurs diverses à diverses époques où la valeur de æ redevient la même. C’est ce qui arrivera, en particulier, si la fonction sous le signe f; assujettie à varier par degrés insensibles avec la position du point mobile que l’on considère, renferme des racines d’équations algébriques ou transcendantes. Alors, si le point mobile parcourt plusieurs fois de suite une même courbe, les racines comprises dans la fonction dont il s’agit pourront varier avec le nombre des révolutions qui ramèneront le point mobile à sa position primitive O, de telle sorte qu’une racine d’une équation donnée pourra se trouver remplacée, après une révolution accomplie, par une autre racine de la même équation. Par suite, la fonction sous le signe ia que l’on doit supposer complètement déterminée au moment du départ, pourra être remplacée, après une ou plusieurs révolutions, par des fonctions nouvelles. Alors aussi le nombre des révolutions pourra exercer une influence marquée sur la valeur de l'intégrale définie obtenue, et cette intégrale sera généralement elle-même une fonction de la variable æ qui, variant avec æ par degrés insensibles, pourra néanmoins, à diverses époques, acquérir diverses valeurs correspondantes à une seule et même valeur de æ. Il y a plus : si la courbe que l’on considère est formée d’une infinité de branches qui viennent toutes se couper au même point O, et si, dans ces diverses révolutions, le point mobile parcourt successivement ces diverses branches, les diverses valeurs de l'intégrale, correspondantes à une même valeur de +, pourront être en nombre infini; et, par suite, si le nombre des révolutions reste illimité, la valeur de l’intégrale sera, dans certains cas, complètement

EXTRAIT Ne 95. 155

indéterminée. Mais cela n'empêchera pas l'intégrale d'acquérir, après une seule révolution du point mobile, une valeur déterminée: et ce qui mérite d'être remarqué, c’est que cette valeur sera, pour l’ordinaire, dépendante de la position du point mobile et indépendante, sous certaines conditions, de la forme de la courbe. En effet, si cette forme vient à varier par degrés insensibles, la valeur de l'intégrale ne sera point altérée, pourvu que la fonction sous le signe À reste finie et continue en chacun des points successivement occupés par la courbe variable. Cette proposition, qui subsiste dans le cas même où l’on remplace la courbe donnée par un polygone, permet de transformer les intégrales qui correspondent à des courbes quelconques, fermées ou non fermées, en d’autres intégrales correspondantes à des lignes droites. Elle permet aussi de reconnaître dans quels cas les théorèmes relatifs à la décomposition des intégrales prises entre des limites réelles peuvent être étendues aux intégrales prises entre des limites imaginaires. Enfin, elle permet de reconnaître sans peine la nature des fonctions inverses de celles qui représentent des intégrales définies données, ou plutôt des fonctions que les géomètres ont désignées sous ce nom, et qui ne sont, en réalité, que des intégrales d'équations différentielles. Dans le cas où ces fonctions sont périodiques, on peut, à l’aide de la proposition énoncée, calculer facilement ce que l’on nomme leurs indices de périodicité, ainsi que les diverses valeurs de la variable qui rendent ces fonctions nulles ou infinies. Ces valeurs étant une fois connues, si les fonctions dont il s’agit ne deviennent discontinues qu’en devenant infinies, alors, pour les décomposer en fractions rationnelles, ou pour les transformer en produits composés d’un nombre infini de facteurs, il suffira ordinairement de recourir aux règles que fournit le calcul des résidus, telles que je les ai données dans le second et le quatrième Volume des Exercices de Mathématiques (").

(!) Œuvres de Cauchy, S. I, T. VII et IX.

ANALYSE

La position d’un point mobile P étant déterminée dans un plan, à l’aide de coordonnées rectilignes ou polaires, ou de toute autre nature, concevons que l'on trace, dans ce plan, une courbe fermée, et nommons s l’are de cette courbe mesuré positivement dans un sens déterminé à partir d’une certaine position initiale O du point mobile P. Soient d’ailleurs w, v, æ, ... des variables qui changent de valeurs d’une manière continue avec la position du point mobile, et, en faisant coincider ce point avec l'extrémité de l’are s, prenons

(1) k= U du + Vds + Wdw +...

U, V, W, .… étant des fonctions de w, v, æ, … tellement choisies, que la somme U du + V dp + W d +... soit une différentielle exacte. Enfin, nommons ç le contour ou périmètre de la courbe fermée, et S l'aire qu’enveloppe cette courbe; désignons par (S) la valeur qu'acquiert l'intégrale IL ds lorsque le point mobile P, ayant parcouru le contour entier ç de l'aire S, revient à sa position primitive; et concevons que l'on fasse varier la surface S, en modifiant par degrés insensiblés la forme de la courbe qui l'enveloppe sans que cette courbe cesse de passer par le point O. D’après ce qui a été dit dans les séances du 3 août et du 21 septembre, les variations de la surface S et de son enveloppe n’altéreront pas la valeur de l'intégrale (S), si la fonction de u, », w, .…, représentée par la lettre #, reste finie et continue en chacun des points successivement occupés par la courbe variable. D'ailleurs, cette condition étant supposée remplie, la fonction # peut, au moment ‘où le point mobile P revient à sa position primitive, ou reprendre sa valeur initiale, ou acquérir une valeur nouvelle. Nous allons examiner successivement ces deux cas, très distincts l’un de l’autre, et indiquer en peu de-mots les résultats dignes de remarque auxquels on se trouve conduit par cet examen.

Soit 00/0"... la courbe décrite par le point mobile P. Si la fonction # reprend la même valeur au moment où le point P revient à sa

position primitive O, alors la valeur X de l’intégrale (S) sera indépendante de cette position primitivement assignée au point mobile sur la courbe qu'il décrit; et si, en partant de la position O, le point mobile parcourt une, deux, trois fois, etc. de suite le contour entier de l'aire (S), l'intégrale / 4 ds acquerra successivement les valeurs

Man: LE,

Si, d’ailleurs, on pose

(2) ésrf k ds, A

Æ et « seront des fonctions de la variable s, liées à cette variable de telle manière que, aux accroissements

Sy 26 36 de la variable s, correspondront les accroissements KES UEK,

de la variable 4, la fonction # restant invariable. Prenons maintenant, pour fixer les idées,

Li)

x étant une variable imaginaire, liée par l'équation (4) æ—a+6V—1

à deux variables réelles «, 6, considérées comme propres à représenter les coordonnées rectangulaires du point mobile P. La formule (2) sera réduite à

(3) e= [eme ds.

Si, d’ailleurs, la fonction f(x) ne devient discontinue qu'en devenant infinie pour certains points isolés C, C’, C”, ... situés dans l’intérieur de l'aire ç, et si à chacune des valeurs de æ qui rendent /(x) infinie correspond un résidu déterminé, si enfin l’arc s se mesure positive-

ment dans un sens tel que le point P ait autour de la surface S un mouvement de rotation direct, alors, d’après ce qui a été dit dans la séance du 21 septembre, on aura

(6) K=—onÿ—1 Ê (f(x),

la somme qu'indique le signe £ s'étendant aux seules racines de »7 . I . . . . ° .

l'équation F&; 0 qui correspondront à des points situés dans l’in-

térieur de l’aire S. Donc, si l’on nomme

les valeurs diverses du produit 27 V—ig (/(æ)), correspondantes

aux divers points isolés C, C’, C”, ..., la valeur de Æ sera de la forme (3) PR ONE AD LA ST

le nombre des termes compris dans le second membre étant précisément égal au nombre des points isolés qui seront renfermés dans l’intérieur de l'aire S. Si ce dernier nombre se réduit à l’unité, on aura simplement K— 1.

Ainsi que nous l'avons remarqué dans la séance du 3 août, la courbe 00'0”... pourrait être remplacée par un polygone curviligne ou même rectiligne. Considérons, en particulier, la dernière hypothèse, et nommons O, 0’, 0”, ... les sommets du polygone supposé rectiligne. Soient d’ailleurs a, b, c, …., g, h les valeurs réelles ou imaginaires de æ qui correspondent à ces sommets; et, afin de ne laisser subsister aucune incertitude sur le sens attaché à la notation

| [ra

dans le cas où les limites a, b deviennent imaginaires, concevons que l’on se serve toujours de cette notation pour désigner le résultat de l'intégration rectiligne appliquée à la différentielle /(æ)dæ. Alors, comme on le reconnaîtra sans peine, si l’on fait coincider successive-

ment le point mobile P avec les points 0’, 0”, ..., la valeur de l’intégrale 4, déterminée par la formule (5), sera représentée, dans le premier cas, par le premier terme de la suite

[ra [rar nid [rar [ras

dans le second cas, par la somme des deux premiers termes; dans le troisième cas, par la somme des trois premiers termes, etc.; et, lorsque le point mobile P sera revenu à sa position primitive O, la somme totale des termes de cette suite représentera la valeur de l'intégrale

£ (8) À f{æ)D,x ds — K, en sorte qu’on aura

b c h a (9) fra + fera ++ f Jde + [| Jte)de&.

Si, pour fixer les idées, on réduit le polygone à un triangle, on trou-

vera

b ë a d d. dx = K:

(10) ['ra+ f reae+ [ed et, comme on aura généralement (11) f fde=- f Mz)dx, l'équation (10) donnera encore € b c de = d. dx — K.

(12) J'remae- f rar + fax Pour que l’équation (12) se réduise à la formule c b c 3 Me d. dx, (13) fra f sterar + [| ja

il sera nécessaire que Æ s’évanouisse, c’est-à-dire que l'aire S ne ren-

ferme aucun point isolé correspondant à un résidu qui diffère de zéro. Par conséquent, l'équation (13) et autres semblables, qui subsistent généralement quand il s’agit d’intégrales prises entre des limites réelles, ne subsistent plus que sous certaines conditions dans le cas où les limites des intégrales deviennent imaginaires.

Pour montrer une application très simple des formules qui précèdent, posons f(æ) — Alors on trouvera £ (/(x)) — 1. Donc, en

vertu des formules (12), (13), on aura

‘dx dx ‘dx ge — TZ — + M eu DV NS a a b

dx Le L dx = +) —; a a b

suivant que l’origine des coordonnées sera située en dedans ou en

dehors du triangle dont les sommets correspondront aux trois points a, b, c; ce qu’on peut aisément vérifier en ayant égard à la formule

‘dz {b h Br Ne) {

qui subsiste, quels que soient a et b, lorsque 2 n’est pas réel et négatif.

Concevons à présent que l'on différentie l'équation (5) : on obtiendra l'équation différentielle

(14) dt = f(x) dx

entre les deux variables æ, L. Soient £, + deux valeurs particulières et correspondantes attribuées à ces deux variables. Si ces valeurs, étant finies, produisent une valeur finie de la fonction /(æ), alors, en prenant £, 7 pour valeurs initiales de æ, #, et faisant varier æ dans le voisinage de la valeur initiale £, on verra, en vertu de l’équation (14), L varier avec æ et /(æ) par degrés insensibles. Alors aussi, tant que le

module de la différence æ — Ë ne dépassera pas une certaine limite supérieure, la valeur de £ qui, se réduisant à + pour æ — £, aura la double propriété de varier avec x par degrés insensibles et de vérifier l'équation (14), sera une valeur unique qui pourra être également fournie par l'intégration rectiligne ou curviligne. Si, pour fixer les. idées, on pose 7 — o et £ — a, en sorte que la valeur initiale de æ soit précisément celle qui correspond au point O; si, d’ailleurs, on nomme x la valeur de æ correspondante à celui des points isolés C, C’, C”, qui est Le plus voisin du point O; alors, en supposant æ choisi de manière que le module de æ — « reste inférieur à celui de x — &, on pourra déterminer la valeur de 4 qui doit se réduire à zéro pour + — a, non seulement à l’aide de la formule (5), que fournira une intégration curviligne, mais encore à l’aide de la formule

(15) = [jt de,

à laquelle on arrive quand l'intégration devient rectiligne. Supposons maintenant que, en opérant comme on vient de le dire, on passe non seulement des valeurs initiales £, + à des valeurs très voisines, mais encore de celles-ci à d’autres qui en diffèrent très peu, etc. En continuant de la sorte, et en donnant la plus grande extension possible aux résultats ainsi produits par la variation de +, on obtiendra une infinité de systèmes de valeurs des variables æ, 4, et la valeur de # en æ sera déterminée par une formule ou par un système de formules dont chacune fournira pour valeur de # une fonction continue de la variable æ. Le système de ces formules est ce que nous appellerons l'intégrale complete de l'équation (14); une seule d’entre elles repré-

sente ce que nous avons appelé l'intégrale relatwe à x, puisque, en

vertu de cette dernière intégrale, & doit, non seulement varier avec x

par degrés insensibles, mais encore acquérir une valeur unique pour

chaque valeur donnée de æ. Au contraire, en vertu de l’intégrale com-

plète, # sera généralement une fonction multiple de la variable æ.

Ajoutons que l'intégrale complète, correspondante à des valeurs ini- OEuvres de C.— S,1,t.X. ie

tiales données de +, 4, ne sera point modifiée si l’on prend pour variable indépendante x, au lieu de #, en considérant l'équation (14) comme propre à déterminer, non plus £ en fonction de æ, mais x en fonction de £.

La fonction /(æ) étant donnée, il sera facile de trouver les diverses valeurs de £ qui, en vertu de l’intégrale complète, correspondront à une même valeur de æ. Concevons, pour fixer les idées, que, en prenant o et a pour valeurs initiales de £ et de æ, on veuille calculer les diverses valeurs de £ correspondantes à la valeur a de æ, c’est-à-dire au point O. IT suffira, pour y parvenir, de ramener une ou plusieurs fois le point mobile P à sa position primitive O, après lui avoir fait décrire chaque fois une courbe fermée qui enveloppe un ou plusieurs des points isolés C, C, C’, ...; et, comme, à chacune des révolutions du point P, la valeur de z se trouvera augmentée de la somme de plu-

sieurs des termes 'Æ ai FA

ou d’une telle somme prise en signe contraire, suivant que le point P aura tourné dans un sens ou dans un autre autour de la courbe qu'il aura décrite, les diverses valeurs de {, correspondantes à la valeur a de æ, seront évidemment comprises dans la formule

(16) ts :,,

m,m,m",... étant des nombres entiers quelconques. Par suite aussi, à une valeur quelconque de æ correspondront diverses valeurs de £ que l’on obtiendra en ajoutant à l'une quelconque d'entre elles toutes celles que fournit l'équation (16). :

Les constantes réelles ou imaginaires, désignées dans la formule (16) par les lettres Z, 7’, 1”, ..., représentent ce qu’on appelle les indices de périodicité de x considéré comme fonction de #. Si, dans ces indices de périodicité, les parties réelles et les coefficients de Vÿ— 1 n'offrent pas des valeurs numériques dont les rapports soient entiers ou rationnels, alors, dans £ considéré comme fonction de x, en vertu de l'intégrale

complète de l'équation (14), la partie réelle ou le coefficient de ÿ — 1 sera une quantité absolument indéterminée. Mais on ne pourra plus en dire autant de l'intégrale relative à æ qui offrira, pour chaque valeur donnée de +, une valeur unique et déterminée de 4, ni de l'intégrale relative à #, qui offrira, pour chaque valeur donnée de 4, une valeur unique et déterminée de x.

Il importe de voir dans quels cas l'intégrale complète de l’équation (14) se réduit, soit à l'intégrale relative à 4, soit à l'intégrale relative à æ. Ce problème est facile à résoudre, d’après les principes que nous venons d'établir. Ainsi, en premier lieu, pour que l’intégrale complète ne diffère pas de l'intégrale relative à æ, il sera nécessaire ct il suflira qu'à chaque valeur finie de æ corresponde généralement, en vertu de l'intégrale complète, une seule valeur de #; par conséquent, il sera nécessaire et il suffira que la valeur de £ fournie par l'équation (16) s'évanouisse, quelles que soient les valeurs attribuées aux nombres entiers 2, m', m", .... C’est ce qui arrivera si chacune des constantes 7, L', 1”, ... s’évanouit, ou, en d’autres termes, si chacun des résidus partiels de la fonction (+) se réduit à zéro.

En second lieu, pour que l'intégrale complète de l'équation (14) ne diffère pas de son intégrale relative à £, il sera nécessaire et il suffira qu'à chaque valeur finie de # corresponde, en vertu de l’intégrale complète, une seule valeur de æ. Or c’est ce qui arrivera généralement quand on se placera dans le voisinage d’une valeur de £ qui

f(x) supposé, la fonction f(æ) est du nombre de celles qui ne deviennent

produira une valeur finie de x et de » si, Comme nous l'avons

discontinues qu’en devenant infinies. D'ailleurs, comme on peut le démontrer, la valeur de + fournie par l'intégrale complète sera dis-

continue dans le voisinage de toute valeur de # qui rendra x infinie, x?

dans Le voisinage de la valeur zéro de cette même variable. Donc l'in-

si le rapport n'est pas une fonction continue de la variable

tégrale complète ne différera pas de l'intégrale relative à £, si des deux

rapports

le premier est une fonction toujours continue de +, et le second une

fonction de æ qui reste continue dans le voisinage de la valeur o attribuée à la variable æ. Ces conditions seront remplies, par exemple si

l’on pose /(x)= => ou, plus généralement, si l’on prend pour

en une fonction de æ, linéaire ou du second degré. Observons encore que, dans le cas où l'intégrale complète ne diffère

pas de l'intégrale relative à £, la valeur de æ fournie par cette intégrale est nécessairement une fonction de £ qui ne devient discontinue qu’en devenant infinie. Cette circonstance permet ordinairement de transformer la fonction dont il s’agit, à l’aide des formules que donne le Calcul des résidus, et de la décomposer en fractions rationnelles, ou “bien encore de la représenter par une fraction dont chaque terme est le produit d’un nombre infini de facteurs.

Retournons maintenant à la formule (2); mais supposons que, au moment où le point mobile P revient à sa position primitive, la fonction #Æ, placée sous le signe ÿs acquière une valeur nouvelle. Supposons d'ailleurs cette fonetion # toujours assujettie à varier avec æ par degrés insensibles. La valeur Æ de l'intégrale (S) ne sera plus indépendante de la position O primitivement assignée au point mobile sur la courbe qu'il décrit. Il y a plus : comme, d’après une révolution du point mobile, la fonction Æ aura changé de valeur, si l’on nomme

les valeurs successives qu'acquerra l'intégrale

és k ds

quand le point mobile P, après avoir effectué une, deux, trois, .. . révo-

lutions dans la courbe qu’il décrit, reprendra sa position primitive, les valeurs de X, K

ne seront pas généralement égales entre elles. Néanmoins, si, après

, K,, ..., évidemment déterminées par les formules

un certain nombre de révolutions du point mobile, la fonction # reprend la valeur qu'elle avait d’abord, à partir de cet instant les

termes de la série ARE CT. 2

se reproduiront périodiquement dans le même ordre, quelle que soit d’ailleurs la position initiale O du point mobile P. Donc alors, en vertu de l’intégrale complète de l'équation (14), æ sera une fonction périodique de 4. Quant aux indices de périodicité, ils ne seront plus généralement représentés par des résidus, mais par des intégrales définies qui pourront se déduire du théorème énoncé au commencement de cet article; savoir, que, si la courbe enveloppe de la surface S vient à

varier sans cesser de passer par le point O, l'intégrale (S) ne variera

pas, pourvu que la fonction # reste finie et continue en chacun des points successivement occupés par la courbe variable.

Les principes que nous venons d'établir sont particulièrement applicables au cas où, dans l'intégrale (2), la fonction sous le signe F renferme des racines d'équations algébriques ou transcendantes. Supposons, pour fixer les idées, Æ déterminé en fonction de æ par l'équation (3) jointe aux deux suivantes :

dans lesquelles f(x, y), F(x, y) désignent des fonctions toujours continues de +, y. Si l’on nomme

MAS as Var. see

les diverses valeurs de y tirées de l’équation (19), les valeurs corres-

pondantes de f(x), savoir (20) f(x, y1), f(z, Je), f(&, Ys) ss

seront ordinairement des fonctions qui éprouveront des changements brusques, pour des valeurs de æ correspondantes, non plus à des points isolés, mais à tous les points situés sur certaines portions de lignes droites ou courbes. Or cet inconvénient sera évité si, au lieu de prendre pour /(æ) un terme de la série (20), on considère, dans l'équation (18), y comme une fonction de æ assujettie : 1° à vérifier l'équation (19); 2° à varier avec + par degrés insensibles, et si d’ailleurs on suppose connues les valeurs initiales £, 1 de æ et de y correspondantes à la valeur initiale 7 de la variable £. Alors les seules valeurs de æ qui rendront la fonction # discontinue seront celles qui la rendront infinie. Alors aussi la considération de ces valeurs de x et des points isolés qui leur correspondent fera connaître la nature de la fonction de # qui devra représenter æ, en vertu de l'intégrale complète de l'équation (14), et permettra de transformer en intégrales définies rectilignes, par conséquent en intégrales définies relatives à æ, les valeurs de X, X, K,, ... fournies par les équations (17).

Ce que je viens de dire fournit, si je ne me trompe, la solution complète des graves difficultés que présente la théorie des fonctions elliptiques, considérée comme une branche du Calcul infinitésimal, ou bien encore la théorie des intégrales abéliennes; et, en faisant disparaître ces difficultés que M. Eisenstein a très bien signalées dans le tome XXVII du Journal de M. Crelle (voir aussi le tome X du Journal de Mathématiques, publié par M. Liouville), les principes: ci-dessus exposés rectifient des notions erronées jusqu'ici trop facilement admises par les géomètres. On voit que la fonction de 4, improprement appelée la fonction inverse de l'intégrale (15), est en réalité la valeur de æ fournie par l'intégrale complète de l’équation (14), et que l’on peut déduire de Ia formule (5) la nature et les propriétés de cette même fonction, ses divers indices de périodi-

EXTRAIT No 345. 167

cité si elle est périodique, etc. On voit encore que, si la fonction /(x) renferme des racines d'équations algébriques ou transcendantes, si l’on a, par exemple, f(æ) —f(x,y), y étant l’une des racines y,, Ya -. de l'équation (19), on devra soigneusement distinguer l’intégrale obtenue dans le cas où la racine y serait toujours la même de l'intégrale obtenue dans le cas où l’on assujettirait f(x, y) à varier avec æ par degrés insensibles. On peut aisément vérifier la justesse de ces conclusions en particularisant la forme des fonctions représentées par f(x), f(x, y) et F(x,y) dans les formules générales ci-dessus établies, ainsi que je le ferai dans un autre article. Je me bornerai, pour l'instant, à indiquer les applications très simples que l’on peut faire de ces formules aux deux exemples suivants. Ce qu'on a nommé l'inverse de l'intégrale définie

n'est même pas la valeur de x tirée de l'intégrale complète de l’équation différentielle

dx = V1— x*? dt,

mais la valeur de æ que fournira l'intégrale complète de l'équation

différentielle dx = y dt,

si l’on assujettit la nouvelle variable y : 1° à vérifier l'équation finie a+ pt;

2° à varier avec æ par degrés insensibles, et si l’on assujettit, de plus, æ, y, t à prendre simultanément les valeurs initiales

Ce qu'on à nommé la fonction inverse de l'intégrale

ER si dx RE V(i— x?) (1 — ki?)

k étant réel et 1, n’est même pas la valeur de æ tirée de l’intégrale complète de l'équation différentielle

dx =V(1—x?)(1— K?x*) dt,

mais la valeur de æ que fournira l'intégrale complète de l’équation différentielle |

di = 4er, si l’on assujettit la variable y : 1° à vérifier l'équation finie

2° à varier avec x par degrés insensibles, et si l’on assujettit, de plus, æ, y, t à prendre simultanément les valeurs initiales

Tr 0) FI; eo,

Dans ces deux exemples, il résulte de la forme des équations différentielles que l'intégrale complète ne diffère pas de l'intégrale relative à 4.

Il est bon d'observer qu’à la formule (19) on pourrait substituer une équation différentielle entre æ et y. Ainsi, en particulier, on pourrait, dans le premier exemple, substituer à l'équation finie

a+ PI l'équation différentielle æ dx + y dy = 0, ou, ce qui revient au même, assujettir æ, y, £ à vérifier les deux équations différentielles dx = pdt, dy —=— x dt.

Observons enfin que, en suivant les règles ci-dessus tracées, on à généralement l’avantage d'opérer sur des équations différentielles qui ne renferment plus de fonctions irrationnelles, ni de radicaux.