FF

EXTRAIT N° 346. | 169 CALCUL INTÉGRAL. — Mémoire sur la continuité des fonctions qui repre-

sentent les intégrales réelles ou imaginaires d ‘un système d'équations

différentelles. Û C. R., T. XXII, p. 702 (12 octobre 1846).

Un grand nombre de formules relatives à la transformation des fonctions, par exemple celles qui servent à les développer en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes des variables, subsistent sous la condition que les fonctions restent continues. Il importait donc d'examiner sous le rapport de la continuité les fonctions qui représentent les intégrales d’un système d'équations différentielles. Tel est l'objet du présent Mémoire.

Pour qu’une fonction donnée de la variable x reste continue dans le voisinage d’une valeur réelle ou imaginaire attribuée à cette variable, il est nécessaire et il suffit : 1° que, dans ce voisinage, la fonction obtienne, pour chaque valeur de +, une valeur unique et finie; 2° que la fonction varie avec æ par degrés insensibles. La seconde condition peut d’ailleurs être remplie sans que la première le soit, et alors la fonction que l’on considère est une fonction multiple dont les diverses valeurs peuvent être considérées comme représentant diverses fonctions continues de la variable æ. C’est en particulier ce qui arrive, conformément à ce qui a été dit dans le précédent Mémoire, si la dérivée de la fonction donnée devient infinie pour certaines valeurs de +, ou si cette dérivée renferme des racines d'équations algébriques ou transcendantes qui soient assujetties à varier par degrés insensibles avec la valeur de x.

Considérons maintenant un système de x équations différentielles du premier ordre qui renferment, avec une variable indépendante £, n variables indépendantes æ, y, x, ... assujetties à prendre certaines valeurs initiales £, n, €, ... pour une certaine valeur * de la variable 4.

Supposons d’ailleurs que, dans la variable 4, la partie réelle et le coef- OEuvres de C. — S.I,t.X. 23

ficient de ÿ—71 soient regardés comme propres à représenter les coordonnées rectangulaires d’un point P, mobile dans un plan horizontal. Enfin soit O la position du point P correspondante à la valeur initiale + de la variable indépendante. Si les fonctions X, F, Z, ... de æ, y, 3, ..., t, auxquelles se réduisent, en vertu des équations différentielles données, les dérivées des variables æ, y, 3, ..., prises par rapport à 4, restent finies et continues dans le voisinage de la valeur + de £, alors, en s’appuyant sur les principes exposés dans mon Mémoire de 1835 (‘}, on reconnaitra, non seulement que, en vertu des équations différentielles données, on peut passer du système des valeurs initiales des variables à un nouveau système qui corresponde à un nouveau point O’très voisin du point O, mais encore que les intégrales ainsi obtenues seront indépendantes, du moins entre certaines limites, du mode d'intégration employé et même du choix de la variable indépendante. Concevons, d’ailleurs, que, en opérant de la même manière, on passe du système des valeurs de æ, y, 3, ...,t correspondantes au point O’, à un nouveau système de valeurs qui correspondent à un nouveau point O” très voisin de 0’, et continuons de la sorte. Les points O, 0’, 0”, ... auxquels on parviendra successivement se trouveront sur une certaine ligne droite ou courbe, et, si l’on nomme P un point mobile qui prenne successivement les diverses positions O, 0’, 0”, ..., les valeurs de x, y, z varieront avec & par degrés insensibles, tandis que le point mobile P se mouvra sur la courbe 0 0'0”..., pourvu que, en chaque point de cette courbe, les variables æ, y, 3, ... acquièrent des valeurs finies, dans le voisinage desquelles les fonctions X, F, Z, ... restent elles-mêmes finies et continues. On pourra d’ailleurs supposer que la courbe O 0'0”... se prolonge indéfiniment dans le plan horizontal qui la renferme, et rien n’empêchera d'admettre qu’elle est du nombre des courbes qui se coupent elles-mêmes en un ou plusieurs points. Les formules qui fourniront tous les systèmes de valeurs des variables auxquelles on

(1) OEuvres de Cauchy, S. H, T. XL

a ht Etes

pourra ainsi parvenir en partant de valeurs initiales données, quelles que soient d’ailleurs la nature ét la forme de la courbe O0"0”... indéfiniment prolongée, représenteront ce que nous nommerons les éntegrales complètes des équations différentielles proposées. Ces intégrales seront généralement indépendantes du mode d'intégration adopté, et même du choix de la variable par rapport à laquelle on intégrera. De plus, comme, dans Le cas où la courbe O0’0”... se coupe elle-même, le point P, en reprenant deux ou plusieurs fois la même position, peut correspondre chaque fois à un nouveau système de valeurs des variables dépendantes æ, y, 3, ..., il est clair que, en vertu des intégrales complètes d’un système d'équations différentielles, les valeurs des variables dépendantes seront des fonctions multiples de 4, du genre de celles qui se trouvent représentées par des intégrales dont les dérivées renferment des racines d’équations algébriques ou transcendantes. Effectivement ces valeurs de æ, y, z, ... pourront être regardées comme des intégrales définies, relatives à des ares de courbes tracées dans le plan qui renferme le point mobile, et, à ce titre, ainsi que nous l'expliquerons dans un prochain article, elles jouiront des propriétés des fonctions que nous avons considérées

dans le précédent Mémoire.

CALCUL INTÉGRAL. — Mémoire sur les diverses espèces d’intégrales

d'un système d'équations différentielles.