C.R., T. XXII, p. 729 (19 octobre

Considérons # +1 variables æ, y, 3, ..., 4, et supposons que ces variables doivent, non seulement vérifier 2 équations différentielles du premier ordre, mais encore prendre simultanément certaines valeurs initiales. En appliquant aux équations différentielles données

l'intégration rectiligne ou curviligne, on pourra passer du système de valeurs initiales de æ, y, 4, ..., { à un second système de valeurs nouvelles, très voisines des premières, puis de ce second système à un troisième, .... Si, en continuant de la sorte, on donne aux intégrales obtenues la plus grande extension possible, elles deviendront ce que nous avons appelé les intégrales complètes des équations différentielles données. Ces intégrales complètes varient et se modifient, quand on vient à changer le système des valeurs initiales attribuées aux diverses variables; mais elles restent les mêmes, quel que soit le mode d'intégration adopté, et quelle que soit la variable que l’on considère comme indépendante. En général, elles ne coïncident qu'entre certaines limites avec ce que nous avons appelé les intégrales relatives à l’une des variables considérée comme indépendante; et, tandis que les intégrales relatives à £, par exemple quand elles sont le produit d'une intégration rectiligne, fournissent, pour une valeur donnée de /, une valeur unique de chacune des variables æ, y, 3, ..., les intégrales complètes, au contraire, résolues par rapport à ces dernières variables, en fournissent communément des valeurs multiples. Sous peine d'introduire une étrange confusion dans l’Analyse infinitésimale, il importe de bien distinguer ces deux espèces d’intégrales, ainsi que les intégrales relatives à diverses variables indépendantes ; et c’est pour n'avoir pas fait cette distinction que, dans l'Analyse transcendante, les géomètres sont parvenus très souvent à des formules qui ne s'accordent point avec celles qu'ils avaient prises pour point de départ. Les difficultés qui en résultent deviennent surtout sensibles quand on considère des équations différentielles dans lesquelles les variables sont séparées, ce qui permet d'effectuer l’intégration à l’aide d’intégrales définies. C’est particulièrement ce qui arrive dans la théorie des fonctions elliptiques et des intégrales abéliennes, quand on envisage cette théorie comme une branche du Calcul intégral; et, comme l’a très judicieusement observé M. Eisenstein dans un Mémoire que renferme le Journal de M. Liouville, on est alors conduit à des conclusions qui sont en contradiction mani-

EXTRAIT N° 347. 173 feste avec les définitions que l’on a posées. Ainsi, par exemple, dans la théorie des fonctions elliptiques, on commence par définir le sinus de l'amplitude d’une variable z comme la fonction inverse d’une certaine intégrale définie relative à æ; puis on prouve ensuite que cette fonction inverse æ est périodique, et mème doublement périodique; et cette proposition contredit la définition adoptée, puisqu'il est impossible d'admettre qu’une intégrale définie, dont la valeur est unique, offre néanmoins une infinité de valeurs distinctes. Pour éviter de se trouver en présence de semblables difficultés, M. Eisenstein a proposé de fonder, comme je l'ai fait moi-même en 1843, la théorie des fonctions elliptiques sur la considération des produits composés d’un nombre infini de facteurs. La principale différence qui existe entre la marche suivie par M. Eisenstein et celle que j'avais tracée consiste en ce qu'il prend pour point de départ, non pas les produits infinis simples, auxquels j'avais donné le nom de /actorielles géométriques, mais les produits infinis doubles, dans lesquels on peut décomposer ces produits infinis simples à l’aide des formules relatives aux fonctions circulaires.

Au reste, au lieu d’éluder les difficultés de la question, je les aborde de front dans ce nouveau Mémoire; et je prouve que l’on peut, sans contradiction, établir la théorie des fonctions elliptiques ou même des transcendantes d'un ordre plus élevé sur la considération des intégrales définies, ou plus généralement des intégrales d'un système d'équations différentielles. Seulement il faut alors abandonner les définitions précédemment admises, et leur substituer des définitions nouvelles. Ainsi, par exemple, le sinus de l'amplitude d’une variable £ ne sera plus la fonction inverse de l'intégrale définie ci-dessus mentionnée, et relative à æ, mais la fonction inverse d’une autre intégrale définie produite par une intégration curviligne; ou, ce qui revient au même, ce sinus sera la valeur de æ que fournit l’intégrale complète d'une équation différentielle de laquelle on tire la première intégrale définie, quand on cherche, non l'intégrale complète, mais l'intégrale relative à £, en la déduisant de l'intégration

rectiligne. On voit, par cet exemple, combien il importe de comparer entre elles les diverses espèces d’intégrales qu'admet une équation différentielle, ou un système de semblables équations, et surtout d’indiquer une méthode à l’aide de laquelle on puisse déduire les intégrales complètes des intégrales produites par une intégration rectiligne, relative à l’une des variables considérée comme indépendante. On trouvera, dans mon Mémoire, des théorèmes généraux qui, en permettant de résoudre ce problème dans un grand nombre de cas, me paraissent devoir contribuer notablement aux progrès de l'Analyse infinitésimale.

ANALYSE

$ I. — Sur les intégrales limitées d'un système d'équations différentielles. Soient a RÉ 4

n +1 variables assujetties : 1° à vérifier 2 équations différentielles du premier ordre; 2° à varier ensemble par degrés insensibles et à prendre simultanément certaines valeurs initiales

AUOT site

En considérant { comme variable indépendante, on pourra présenter les équations différentielles données sous la forme

(1) Pie, MYTE, D,:—7,