DEL

Concevons maintenant que, w désignant une fonction des seules

variables æ, y, z, ..., on pose

t (2) Vu f (4 Deu+FD,u+ZD.u+...)dt.

Si les fonctions X, Y, Z, ..., u restent finies et continues par rapport aux variables æ, y, 3, ..., & dans le voisinage des valeurs initiales £, n, G ..., 7, alors, comme je l’ai prouvé dans divers Mémoires, la série (3) M VE VE sera convergente, du moins pour un très petit module de la différence £ — 7; et, si l’on représente par l

Ou la somme de cette série, on aura identiquement (4) D, Qu + XD, Ou + FD,Ou+...—o.

Si, d’ailleurs, æ, y, 3, ..., 4 varient simultanément de manière à vérifier les formules (1), l'équation (4) donnera (5) d@u — 0; et, en remplaçant successivement w par æ, par y, par 3, ..., on tirera de la formule (5) (6) d® x — 0, d8y = 0, d8 z = 0, En vertu des équations (5), les fonctions de æ, y, z, ...,4et représentées par Ox, @y, Oz, ... devront se réduire à des quantités constantes; et, comme les valeurs initiales de @x, @ y, Oz coïncideront avec les valeurs initiales de æ, y, z, ..., puisque x se réduit géné-

ralement au premier terme « de la série (3) pour une valeur nulle de la différence : — 7, les formules (5) donneront

(7) OX —E, Le E RU 3-6

Telles sont les équations finies auxquelles devront satisfaire, du moins

entre certaines limites, les variables æ, y, 3, ..., assujetties : r° à vérifier les formules (1); 2° à prendre simultanément les valeurs initiales &, n, €, ..., 7. Dans quelques cas spéciaux, par exemple lorsque les équations différentielles proposées seront linéaires et à coefficients constants, la série (3) sera toujours convergente, et par suite les formules (7) s’étendront à des valeurs quelconques de 4. Mais, en général, ces formulés subsisteront seulement pour un module de la différence t— 7 inférieur à une certaine limite que nous avons appris à calculer, et, pour cette raison, nous donnerons aux formules (7) le nom d’intégrales limitées.

Observons, au reste, que, en faisant usage de développements en séries et démontrant la convergence de ces séries à l’aide du calcul que j'ai nommé Calcul des limites, on peut obtenir, sous diverses formes, des intégrales limitées des équations (1). D'après ce qui a été dit, il est clair que, pour de très petites valeurs du module de la différence 4 — +, les valeurs de æ, y, z, ..., tirées de ces diverses intégrales, vérifieront les équations (6) et, par conséquent, les formules (7).

Observons encore que, en vertu des principes établis dans le Mémoire Sur la nature et les propriétés des racines d'une équation qui renferme un paramètre variable, les formules (7), résolues par rapport aux variables æ, y, z, ..., fourniront, pour chacune de ces variables, une valeur unique, du moins quand le module de la différence 4 — 7 ne dépassera pas une certaine limite supérieure. En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :

TaéoRÈME. — Considérons n + 1 variables x, y, MURS | assujellies ; 1° à vérifier n équations différentielles du premier ordre; 2° à varier ensemble par degrés insensibles et à prendre simulianément certaines valeurs initiales £, n, €, ..., %. St les fonctions déterminées X, Y, Z, ..., qui, en vertu de ces équations différentielles, représentent les dérivées D,x, D, y, D,z, ... des variables x, y, 3, ..., restent finies et continues par

rapport aux vartables x, v, 3,...,1 dans le voisinage des valeurs int-

tiales &, n, CG, ..., T; alors, pour un module de la différence t — 7 inferieur à une certaine limite, on pourra satisfaire aux conditions énoncées en attribuant à æ, y, 3, ... un certain système de valeurs très voisines

deË,n,Q,...; et ce système de valeurs, qui sera unique, pourra se déduire

des formules (7).

Ajoutons que l’on arriverait à des conclusions toutes semblables si l’on cherchait à exprimer, non plus æ, y, z, ... en fonction de #, mais 1, y, 3, .… en fonction de +, et qu’alors, pour un module de la différence æ — Ë inférieur à une certaine limite, les valeurs de 4, y, 3, ... en æ pourraient encore se déduire des formules (7).

Remarquons, enfin, que les valeurs des diverses variables, exprimées en fonctions de l’une d’entre elles, par exemple les valeurs de x, y» 3, .…. exprimées en fonction de £, seront généralement, en vertu des formules (7), des fonctions continues, non seulement de la variable #, mais encore des valeurs initiales &, n, €, ..., attribuées aux diverses variables.

$ IL. — Sur les intégrales rectilignes et curvilignes d’un système

d'équations différentielles.

Étant données les équations (1) du $ I avec les valeurs initiales #, n» G ..., tx des diverses variables æ, y, 3, ..., {, prenons & pour variable indépendante. Considérons d’ailleurs dans cette variable, qui peut acquérir des valeurs quelconques, réelles ou imaginaires, la partie réelle et le coefficient de Ÿ — 1 comme propres à représenter les coordonnées rectangulaires d'un point mobile dans un plan horizontal, et nommons O la position de ce point correspondante à la valeur + de z. Si les fonctions X, Y, Z, ... restent finies et continues par rapport aux diverses variables quand on attribue à celles-ci des valeurs très approchées de leurs valeurs initiales, on pourra, en vertu des équations différentielles proposées, ou plutôt en vertu de leurs intégrales fournies par l’une des méthodes que nous avons rappelées

dŒEuvres deC.— S.I,t.X. 23

dans le $ I, passer des valeurs initiales £, n, €, ... des variables dépendantes æ, y, 3, ... à des valeurs très voisines qui correspondront à une nouvelle valeur de z très voisine de +, et, par conséquent, à un nouveau point O‘ très rapproché du point O. On pourra de la même manière, si les fonctions X, F, Z, ... restent finies dans le voisinage du système des nouvelles valeurs de æ, y, z, ..., { correspondantes au point O’, passer de ce nouveau système à un troisième auquel répondra un nouveau point O” très voisin de O’, etc. En continuant ainsi, on obtiendra une série de points O, O’, 0”, ... que l’on pourra supposer situés sur une certaine ligne droite ou courbe 00/0"...: et si chacun de ces points correspond toujours à des valeurs de æ, y, 3,..., 4 dans le voisinage desquelles les fonctions X, F, Z, ... restent finies et continues, cette série pourra se prolonger indéfiniment. Comme d’ailleurs les intégrales trouvées feront connaître les valeurs de æ, y, 3, ... correspondantes, non seulement aux points O, 0’, 0", ..., mais encore aux points situés sur la ligne que l’on considère, entre O et 0’, entre O'et 0”, ..…, il est clair que les valeurs de æ, y, :,..., envisagées comme fonctions de £, seront connues pour un point quelconque de cette ligne. Les intégrales ainsi produites par une intégration en ligne droite ou en ligne courbe devront être naturellement désignées sous le nom d’intégrales rectilignes ou curvilignes du système des équations différentielles proposées. Du mode de formation de ces intégrales 11 résulte évidemment que les valeurs qu’elles fourniront pour +, y, 3, ... varleront, en général, par degrés insensibles avec la variable indépendante £, et, par conséquent, avec la position du point mobile P sur la ligne O 0’0”.

Les intégrales obtenues seront rectilignes si les valeurs successivement attribuées à la variable £ sont telles que l'argument de la différence { — 7 reste invariable; elles seront curvilignes dans le cas contraire.

Lorsque X, F, Z ... se réduisent à des fonctions de la seule variable 4, alors, £ étant pris pour variable indépendante, les intégrales rectilignes des équations (1) du $ I peuvent être représentées

Cédités th th PES “ÈS dis à

SE on tai ét etat à 2 Pat à ni ha a le nt Gode né

par les formules

t t (1) a—i=f Aa p-n=f F dt, V+ t

Il y a plus : les valeurs de x, y, 3, ... en 4, fournies par les intégrales rectilignes, devront satisfaire, dans tous les cas, à ces dernières formules, qui peuvent être considérées comme suffisant à déterminer complètement ces valeurs.

Si l'intégration devient curviligne ou, en d’autres termes, si 4 varie de manière que la ligne O0 0’0”..., tracée par le point mobile P, soit courbe, alors, en nommant s l’arc de cette courbe mesuré à partir de la position initiale O du point P, on devra, aux formules (1), substituer les suivantes

(2) 2—i=f a NP nf Ph, re PS

qui peuvent être considérées comme suffisant à déterminer complètement Les valeurs de x, y, z, .... | |

Si des formules (2) ou, ce qui revient au même, des intégrales curvilignes, on veut revenir aux intégrales rectilignes représentées par les formules (1), il suffira de remplacer l'arc s par le module de la différence & — 7, et D,2 par l’exponentielle trigonométrique qui offre pour argument l'argument de cette même différence.

Jusqu'ici nous avons admis que les fonctions X, F, Z, ... restaient finies et continues par rapport aux variables æ, y, 3, ..., 4, dans le voisinage des valeurs correspondantes à chacun des points O, 0’, 0”, ..., ce qui suppose que ces mêmes valeurs restent finies. Admettons maintenant la supposition contraire, et concevons qu'à un point C de la ligne O0 0’0”... corresponde une valeur infinie de quelqu'’une des variables æ, y, 3, ..., ou bien encore qu’en ce point l’une des fonctions X, F, Z, ... devienne discontinue. Pour savoir ce qu’alors on devra nommer les intégrales rectilignes ou curvilignes des équations

différentielles proposées, il suffira d'étendre à ce cas-là même les formules (1) ou (2), et de considérer encore ces formules comme les équations auxquelles devront satisfaire les valeurs de æ, y, z, fournies par ces intégrales. En vertu de l’extension dont il s’agit, les i ntgrales rectilignes ou curvilignes prendront une nature semblable à celle des intégrales définies dans lesquelles la fonction sous le signe cf devient discontinue. Si la discontinuité consiste en un changement brusque de valeur dans une fonction qui reste finie, les intégrales rectilignes ou curvilignes conserveront des valeurs finies et déterminées. Mais, si l’une des fonctions X, Y, Z, ... devient infinie, ces intégrales pourront, ou devenir infinies, ou offrir des valeurs indéterminées, c’est-à-dire un nombre infini de valeurs parmi lesquelles on devra distinguer des valeurs principales. Observons d’ailleurs que les intégrales rectilignes ou curvilignes, quand elles deviendront indéterminées, représenteront une sorte d’intégrales singulières des équations différentielles données, et correspondront, si la ligne O0 0’0”... est droite, à certaines directions particulières de cette ligne, savoir aux directions qu’elle prendra quand on la fera passer par un point C auquel répondra une valeur infinie de quelqu’une des fonctions X, F, Z, .... Ajoutons que, si à cette direction singulière on substitue deux autres directions qui en soient très voisines, les valeurs de æ, y, z, ..., tirées des intégrales rectilignes, pourront varier brusquement, leurs variations pouvant être représentées dans beaucoup de cas à l’aide des résidus de certaines fonctions. Pareillement, si la ligne O0 0’0”..., étant courbe, renferme un point C auquel réponde une valeur infinie de quelqu’une des fonctions X, F, Z, ..., alors il suffira souvent de faire subir à cette ligne de très légers changements de forme, ou même de position, en la faisant tourner d’une quantité très petite autour du point O, pour que les valeurs de x, y, 3, .…, tirées des intégrales curvilignes, éprouvent des variations brusques et instantanées.

Pour appliquer ces principes généraux à un exemple très simple, supposons que les formules (1) du $ I soient réduites à la seule équa-

EXTRAIT No 347. 181

tion différentielle

(3) Dix—

et prenons o, 1 pour valeurs initiales des variables +, 4. L'intégrale rectiligne de cette équation différentielle sera

F4 US — = lé.

A 0 , . % . . n l'e Dans ce même cas, la fonction X, réduite à -» deviendra infinie pour

1 = o. Cela posé, soient O, C les points correspondants aux valeurs 1 et o de £. Si la droite OO’ ne passe pas par le point C, et si l’on fait varier £ à partir de sa valeur initiale 1, la valeur correspondante de x

fournie par l'intégrale rectiligne”

(4) æ—Ît

variera, par degrés insensibles, avec £. Il y a plus : cette valeur de x variera encore par degrés insensibles quand la droite O0’ tournera autour du point O, dans un sens ou dans un autre, en décrivant un très petit angle. Mais il n’en sera plus de même si l’on fait prendre à la droite O0’ la position singulière OC, et si, en même temps, on attribue à £ une valeur négative — a, a étant un nombre quelconque. Alors, en effet, l'intégrale définie

deviendra indéterminée, sa valeur principale étant la; et si, en faisant varier infiniment peu la direction de O0’, on pose successivement

t=—a—Ee—1, t——a+e—1, c étant un nombre infiniment petit, on obtiendra deux nouvelles va-

leurs de x très distinctes de la, savoir

J(—œa—ey—1) et 1(—a+ey—:i)

ou, à très peu près,

la—nxV—1 et la+nry—1.

Observons d’ailleurs que ces deux valeurs offriront pour demi-somme la valeur la correspondante à la direction OC, la différence entre chacune d’elles et la étant égale, au signe près, au produit

nie Es).

En terminant ce paragraphe, il est bon de rappeler que les intégrales rectilignes d'un système d'équations différentielles sont généralement modifiées quand on change de variable indépendante. Il y a plus : elles se trouvent souvent modifiées quand, aux valeurs initiales des variables, on substitue d’autres valeurs qui vérifient ces mêmes intégrales. Ainsi, par exemple, quoiqu’on satisfasse à la formule (4) en posant

a, TT ./ —— t—ÿ/—:, = V—1,

néanmoins l'intégrale rectiligne qu’on déduit de l’équation (3), en prenant ces valeurs de 4 et de x pour valeurs initiales, savoir

(5) eV)

est distincte de la formule (4), et ne s'accorde avec elle que pour des

/ “ace T valeurs de l'argument de £, renfermées entre les limites — =; +.

$ III. — Sur les intégrales complètes d’un système d'équations différentielles.

Supposons que, en prenant { pour variable indépendante, on applique l'intégration curviligne aux équations (1) du $ I. Si l’on nomme toujours P le point mobile qui correspond aux diverses valeurs réelles ou imaginaires de £, O la position initiale de ce point, 000”... la courbe qu’il décrit, et s l'arc de cette courbe mesuré à partir du point O, les intégrales curvilignes des équations données

pourront être représentées, comme on l’a dit, par les formules (2) du S I. Observons maintenant que, dans ces intégrales, l’arc s pourra croître indéfiniment, la courbe O00’0”... pouvant être indéfiniment prolongée, et la forme de cette courbe étant d’ailleurs entièrement arbitraire. Quelle que soit cette forme, et quel que soit le nombre des circonvolutions à la suite desquelles le point mobile P atteindra une position donnée, les valeurs de , y, z, .…, fournies par les intégrales curvilignes et correspondantes à des positions très voisines de celles dont il s’agit, varieront généralement avec s et £ par degrés insensibles lorsqu'on fera mouvoir le point P sur la courbe qu’il décrivait, ou même lorsqu'on fera varier infiniment peu la forme de cette courbe. I n’y aura d'exception à cet égard que dans le cas particulier où le point P, en se mouvant sur la courbe O0'0”..., finirait par atteindre une position à laquelle correspondraient des valeurs infinies de l’une des variables æ, y, 3, ... ou de l’une des fonctions X, F, Z,..., par conséquent l’une des positions occupées par les points C, C’, C”, pour lesquels æ, y, 3, ... ou X, F, Z, ... deviennent infinies. Or ces derniers points sont nécessairement des points isolés. Si l'on faisait passer la courbe 00’0”... par l’un d’entre eux, les valeurs de x, y, 3, .…, fournies par les intégrales rectilignes, pourraient devenir indéterminées et offrir des valeurs principales qui différeraient notablement des valeurs correspondantes à d’autres courbes très voisines. Cela posé, concevons que l’on veuille donner aux intégrales curvilignes la plus grande extension possible, mais cependant avec la condition que les valeurs de æ, y, 3, ... varient par degrés insensibles avec la position du point P. Il suffira évidemment d'admettre que lon fait prendre successivement à la courbe 00/0”... toutes les formes imaginables, mais en évitant de la faire jamais passer par l’un des points isolés CG, C’, C”, ..., dont elle pourra néanmoins s'approcher indéfiniment. C’est alors que l’on obtiendra ce que nous appelons les intégrales complètes des équations différentielles proposées. Ainsi définies, les intégrales complètes ne seront point modifiées quand on prendra pour variable indépendante, au lieu de #4, une quelconque des autres va-

riables æ, y, 3, .... Ajoutons que les valeurs de æ, y, 3, ... en £, fournies par ces intégrales, seront, en général, des fonctions multiples de #, souvent même des fonctions qui, pour chaque valeur de £, offriront une infinité de valeurs distinctes, ou bien encore une infinité de valeurs très voisines les unes des autres. Mais il peut aussi arriver que les intégrales complètes offrent, pour chaque valeur donnée de £, une valeur unique, et alors elles coïncident nécessairement avec les intégrales rectilignes relatives à £. C’est ce qui aura lieu, en particulier, pour une certaine classe d'équations différentielles que nous allons indiquer.

Supposons que, dans les équations (1) du $ I, X, F, Z, ... représentent des fonctions toujours continues des variables æ, y, 3, ..., 4, c'est-à-dire des fonctions qui restent continues dans le voisinage de valeurs finies quelconques attribuées à ces mêmes variables. Alors, en vertu des principes que nous avons établis, les valeurs de æ, y, 3, ..., fournies par une intégration rectiligne relative à {, varieront avec 4 par degrés insensibles et seront fonctions continues de #, à moins que ne s'approche indéfiniment d’une valeur à laquelle correspondent des valeurs infinies de quelques-unes des variables æ, y, z, .... Cela posé, pour savoir si les intégrales complètes différent ou ne diffèrent pas des intégrales rectilignes relatives à £, il suffira évidemment d’examiner si, quand une ou plusieurs des variables æ, y, z, ... deviennent infinies, les inverses de ces variables, représentées par les rapports

= >" restent fonctions continues de &. Or c’est ce qui arrivera

certainement si la propriété qu’avaient les équations différentielles proposées de fournir, pour les dérivées D,æ, D,y, D,z, ... des variables dépendantes +, y, 3, .…, des valeurs représentées par des fonctions toujours continues, subsiste encore dans le cas où l’on remplace

celles des variables æ, y, 3, ... qui deviennent infinies par de nouvelles variables x’, y’, z', ... liées aux premières par des équations de la forme

Fes = CERE

Le fr ste

Pour éclaircir ce qui vient d’être dit à l’aide d’un exemple très

simple, supposons que les équations différentielles données se réduisent à une seule équation de la forme

(1) Bin flat).

Si, dans cette équation, on substitue à la variable æ la variable

[ & =) on trouvera (2) Dex = 2 ff e).

Cela posé, pour que l'intégrale complète de l'équation (1) ne diffère ë l

pas de l'intégrale rectiligne relative à £, il suflira que, des deux expres-

SIOns

la première soit une fonction toujours continue des variables æ, 4, et la seconde une fonction toujours continue des variables x: 4. C'est précisément ce qui aura lieu si /(+, 4) est une fonction toujours continue de £, et, en même temps, une fonction entière de +, du premier ou du second degré. Ainsi, en particulier, si l’on désigne par f(4). F(z) deux fonctions toujours continues de £, l'intégrale complète de

l'équation linéaire (3) Dix=xf(t)+F(6)

ne différera pas de son intégrale relative à #, et par suite la valeur de æ que fournira l'intégrale relative à £, savoir

at f(£) dt

/ t = [fre d (4) de" + f Fe” “)

sera une fonction toujours continue de 4. Ajoutons que l’on pourra encore en dire autant si, à l'équation (3), on substitue la suivante

(5) Diæ=x"+ 0 OEuvres de C. — S.1,t. X.

ee) +

ou, plus généralement, la suivante (6) Dix x f(t)+æfi(t) + f(e),

f(e), f,(4), f,(4) désignant trois fonctions toujours continues de z.

Lorsque les intégrales complètes d'un système d'équations différentielles ne se confondent pas avec les intégrales rectilignes relatives à 4, il importe de comparer entre elles ces deux espèces d’intégrales, et surtout de voir comment on peut passer des unes aux autres. Telle est la question qui est traitée dans la dernière Partie de mon Mémoire, et sur laquelle je reviendrai prochainement.

ç ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur les valeurs moyennes

des fonctions.