C. R., T. XXII, p. 779 (26 octobre

Dans la dernière séance, j’ai fait voir combien il importe de distinguer les unes des autres et de comparer entre elles les diverses espèces d’intégrales qu’admet un système d'équations différentielles. Jai ajouté que j'étais parvenu à établir des théorèmes généraux, à l’aide desquels on peut effectuer cette comparaison et déduire les intégrales’

complètes des intégrales produites par une intégration rectiligne, relative à l’une des variables considérée comme indépendante. Je vais aujourd’hui réaliser la promesse que j'avais faite de revenir sur cette question, et montrer comment on peut la résoudre, en s'appuyant sur la théorie des intégrales définies singulières et sur la considération des fonctions continues.

ANALYSE

Soient toujours

n + 1 variables assujetties : 1° à vérifier z équations différentielles du premier ordre; 2° à varier ensemble par degrés insensibles et à prendre simultanément certaines valeurs initiales

M oem:

En considérant : comme variable indépendante, on pourra présenter les équations différentielles données sous la forme

(1) 1 KE mm. 5 PS era LL PE ets A

X, F, Z, ... étant, ou des fonctions explicites des variables æ, y, 3, ..., {, Ou du moins des fonctions implicites dont les valeurs seront celles que fourniront les équations différentielles quand on y remplacera D,æ par la lettre X, D,y par la lettre F, .... Si ces mêmes équations fournissaient, pour X, Y, Z, ..., plusieurs systèmes de valeurs distinctes, alors, à chacun de ces systèmes correspondrait, comme nous l'avons dit, un système particulier d'équations différentielles représentées par les formules (1).

Concevons maintenant que, dans la variable indépendante 4, on considère la partie réelle et le coeflicient de ÿ — 1 comme propres à représenter les coordonnées rectangulaires d’un point P qui se meut dans un plan horizontal; et nommons O la position initiale de ce point correspondante à la valeur + de £. Supposons encore que l'on joigne le point O au point P : 1° par une droite OP; 2° par une courbe

00’0”...P, dont la longueur, mesurée à partir du point O, soit représentée par la lettre s. Supposons enfin que, dans les équations (1), X, Y, Z, .… représentent des fonctions complètement déterminées des variables æ, y, 5, ..., 4. Tandis que l’on prolongera indéfiniment la droite OP, ou la courbe 00"...P, les variables æ, y, 3, ... assujetties: 1° à prendre, pour la valeur initiale = de £, les valeurs initiales correspondantes €, n C -..; 2° à varier avect ous par degrés insensibles, et à vérifier les équations (1), seront ce que nous avons appelé les intégrales rectilignes où curvilignes de ces mêmes équations, et satisfe-

ront, dans le premier cas, aux formules

À t (2) z—i= | di, y=n=f PA, s—t=f Zat, A mnt 7