LE LÉ

dans le second cas, aux formules

(B)'æ—i=f ADitds, y—n= f FD,ids, s—t=f Zhtds, “9 74 0

Ajoutons que, si la droite OP ou la courbe 00"...P vient à se déplacer en tournant d’une quantité très petite autour du point O, les valeurs de +, y,:,..., fournies par les intégrales rectilignes ou curvilignes, varieront tres peu elles-mêmes, à moins que la droite OP, ou la courbe 00’...P, ne passe par un ou plusieurs des points isolés C, C', C”, auxquels correspondent des valeurs infinies de quelques-unes des varlables æ, y, 3, ..., ou de quelques-unes des fonctions X, F, Z, .... Quant aux intégrales complètes, ‘elles ne seront autre chose que le système de toutes les intégrales curvilignes correspondantes à toutes les formes imaginables de la courbe 00”...P, ou plutôt à toutes les formes que cette courbe pourra prendre, sans jamais passer par l’un des points C, C', C”, ... dont il lui sera néanmoins permis de s'approcher indéfiniment. Cette restriction est nécessaire lorsqu'on veut conserver aux intégrales complètes la propriété remarquable de fournir, pour les variables indépendantes x, y, =, ..., des valeurs qui varient toujours par degrés insensibles avec la variable indépendante 4, quelle

que soit d’ailleurs la variation réelle ou imaginaire de £, ou, ce qui revient au même, quelle que soit la direction suivant laquelle se déplace le point mobile P.

Ces définitions étant admises, et £ étant toujours considéré comme variable indépendante, supposons que, à l’aide d’un procédé quelconque, on ait obtenu les intégrales rectilignes des équations (1), et soient

+110 aq) YA) 3 =%(0),

ces mêmes intégrales. Soient encore

les fonctions de £ auxquelles se réduisent

quand on y substitue les valeurs de æ, y, =, ... tirées des formules (4). On aura identiquement t t ‘t (6) ot) f xd, y(9—n=f Sa, pa)—r=f %ar, ie:

VT Ur C&

Soient, d'autre part, r la longueur du rayon vecteur OP, et p l'angle polaire qu'il décrit, cet angle étant mesuré à partir de la direction primitive du rayon, c’est-à-dire à partir de la direction de la tangente menée par le point O à la courbe OO’P. On aura

(6) t—T—rerv-":

et, dans cette dernière formule, l'angle p, d’abord positif, pourra, ou croitre indéfiniment, si le rayon vecteur r tourne toujours dans le même sens autour du point O, ou bien, après avoir crû pendant un certain temps, décroître ensuite. Il y a plus : l’angle p pourra subir des accroissements et décroissements alternatifs, en vertu desquels il acquerra une infinité de valeurs positives ou même négatives. Ajoutons qu’à ces accroissements ou décroissements correspondront, pour

le rayon vecteur r, des mouvements de rotation qui s’effectueront en sens contraires, et en vertu desquels il pourra reprendre plusieurs fois une direction donnée.

Cela posé, considérons le rayon vecteur OP ou r parvenu dans une position telle que, avant de l’atteindre, il ait toujours tourné dans le même sens, en décrivant un angle inférieur à quatre droits. Nommons S l'aire comprise entre la courbe 00"... P et la droite OP. Le contour en partie eurviligne, en partie rectiligne, qui terminera cette aire, sera un contour fermé; et, si l’on nomme (S) ce que devient l'intégrale è J X D,tds,

quand on la suppose étendue à tous les points de ce contour, c’està-dire quand on considère la droite PO comme propre à représenter le prolongement de l'arc s, on aura évidemment

X D, t ds — [ X dt.

G un Î Sn.

Supposons d’ailleurs que les fonctions X, F, Z, ... restent finies et continues par rapport aux variables æ, y, z, ..., { dans le voisinage de valeurs liées entre elles par les équations (4) et correspondantes à un point quelconque de la surface S. Alors les fonctions de {, désignées par x, 7, #, .…, resteront elles-mêmes finies et continues dans le voisinage d’une valeur de # correspondante à un point quelconque de cette surface; et, en vertu de ce qui a été dit dans la séance du 3 août

dernier, on aura (8) (3) =0;

par suite, la formule (7) donnera

et, comme on obtiendra des résultats semblables en remplaçant x