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t X D';t ds if: X dt;" T

par 3, par #, ..., on trouvera définitivement

s t F ; { (10) ‘. X D,t ds — f X dt, f JD,tds sf 3 dt, 0 “+ 9 id

ou, ce qui revient au même, eu égard aux équations (5),

D ou): f xD,cds, x()— nf SDicas, * ) | 70

Or il suit des formules (11) que les valeurs de æ, y, 3, ..., fournies par les équations (4), satisfont aux formules (3). Ces valeurs représenteront donc, non seulement les intégrales rectilignes, mais encore les intégrales curvilignes des équations (r), et même elles seront les seules que pourra fournir l'intégration curviligne, lorsque, en partant du point O pour arriver au point P, on suivra la courbe O0 0’...P, puisque, dans tous les points de cette courbe, elles produiront des valeurs finies x, 3, %, ... des fonctions X, F, Z, ..., qui, par hypothèse, resteront continues dans le voisinage de ces mêmes points (voir le théorème des pages 176-177). En conséquence, on pourra énoncer la proposition suivante : |

THÉORÈME T1. — Supposons les n + 1 variables D, Vs So 0+0s L'ASSUTELTES à

1° à vérifier les équations (1), dans lesquelles X, Y, Z, ... désignent des

fonctions déterminées de x, y, 3, ...,t3; 2° à varier ensemble par degrés insensibles et à prendre simultanément les valeurs initiales E, bird Considérons d’ailleurs, dans la variable t, la partie réelle et le coefficient de /— 1 comme propres à représenter les coordonnées rectangulaires d'un point P qui se meut dans un plan horizontal, et nommons O la position iniiale de ce point correspondante à la valeur 7 de t. Enfin représentons les intégrales rectilignes des équations (1) par les formules (4); joignons le point O au point P: 1° par la droite OP ; 2° par une courbe O 0'...P ; supposons le rayon mobile OP parvenu dans une position telle que, avant de l'atteindre, il ait Loujours tourné dans le même sens en décrivant un angle inférieur à quatre droûts ; et nommons S la surface que terminent, d'une

part, ce rayon vecteur, d'autre part, la courbe O0"...P. St les fonctions

X, F, Z,... restent finies et continues par rapport aux variables x, y, 5, .…, l, dans le voisinage de valeurs liées entre elles par les formules (4) el correspondantes à un point quelconque de la surface $, les valeurs de æX, Y, 3, ..., données par ces formules, coïncideront, pour chaque point de la courbe O0’...P, avec les valeurs de x, Y, 5, ... que l’on déduirait

de l'intégration curviligne, en faisant décrire cette courbe au point mobile.

Corollaire. — Soit R un point situé sur la courbe O0 0’...P, entre les

deux points extrêmes O, P, et nommons s, t les valeurs de s, £ correspondantes au point R. La formule (9) donnera t

1 s (12) { xp f xar.

De plus, si l’on nomme s l'aire que terminent, d’une part, les rayons vecteurs OR, OP, d'autre part, la portion de courbe RP, et si l’on nomme (s) ce que devient l’intégrale

JR D,tds

quand on la suppose étendue à tous les points du contour de la surface 8, on aura évidemment

t 25 t (13) = f xdt+ | RDitds — f X dt,

et à la formule (8) on pourra joindre la suivante :

or, de cette dernière, jointe à la formule (13), on tirera

D t (ab) | f xa;

et il suffira, évidemment, de combiner entre elles, par voie d’addition, les formules (12) et (15), pour retrouver l'équation (9). Ce n’est pas tout. La démonstration que nous venons de donner de

RDicds = | X dt —

la formule (15) continuera évidemment de subsister, si le rayon vecteur r, après avoir tourné dans un sens pour atteindre la direction OR, tourne en sens contraire pour atteindre la direction OP; et, comme les formules (12) et (15), combinées entre elles par voie d’addition, reproduisent toujours l'équation (9), il est clair que cette dernière équation doit être étendue, avec le théorème [, au cas où le rayon vecteur r, avant d'atteindre sa position finale, tourne d’abord dans un sens, puis en sens contraire. Il y a plus : si, avant d’atteindre sa position finale, le rayon vecteur OP tourne alternativement dans un sens et dans un autre plusieurs fois de suite, on pourra diviser l’are s en plusieurs parties, dont chacune soit comprise entre deux points tellement choisis, que le rayon vecteur tourne toujours dans le même sens quand son extrémité passe d’un de ces points à l’autre; et, pour retrouver alors le théorème I, il suffira de combiner entre elles, par voie d’addition, les diverses formules correspondantes aux diverses parties de l’arc s. En conséquence, on peut énoncer la proposition

TnéorÈme IT. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème 1, avec cette seule différence que, avant d'atteindre sa position finale, le rayon vecteur OP tourne tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, en décrivant des angles quelconques, nommons $ la portion de surface plane dont les divers points sont précisément ceux que rencontre dans son mouvement le rayon vecteur OP. Si les fonctions X, Y, Z, ... restent finies et continues par rapport aux variables æ, y, z, ..., t, dans le voisinage de valeurs liées entre elles par les formules (4) et correspondantes à un point quelconque de la surface S, les valeurs de æ, y, 3, ..., données par ces formules, coincideront, pour chaque point de la courbe O0"...P, avec les valeurs de æ, y, z, ..., que l’on déduirait de l'intégration curviligne,

en faisant décrire cette courbe au point mobile.

Corollaire. — 11 est important d'observer que le théorème précédent subsisterait dans le cas même ou le contour O0"...P serait en partie rectiligne et en partie curviligne, par exemple dans le cas où ce con-

OEuvres de C. — S.IL, t.X. 29

tour se composerait d'un rayon vecteur O0’ mené du point O au point O’, et d’une portion de courbe O’P tracée entre les points 0’ et P.

En s'appuyant sur les théorèmes que nous venons d'établir, on résout facilement la question suivante :

ProgLème. — Les lettres X, Y, Z, ... étant des fonctions déterminées des variables x, y, 3, ..., t, supposons que les intégrales rectilignes des * équalions (1) soient connues et représentées par les formules (4). Supposons encore que, les variables x, y, 3, ..., t étant liées entre elles par les formules (4), les fonctions X, Y, Z, ... ne deviennent discontinues qu'en devenant infinies, pour certaines valeurs particulières de t correspondantes à certains points isolés G, C', C”, .... On demande les intégrales curvtilignes, correspondantes à une courbe O0'0”, ... tracée arbürairement dans le plan qui renferme le point mobile P, et prolongée indéfiniment, à

Solution. — Les valeurs initiales des variables étant supposées les mêmes dans l'intégration rectiligne et dans l’intégration curviligne, il résulte du théorème II que les intégrales curvilignes se confondront avec les intégrales rectilignes jusqu'au moment où le rayon vecteur r, mené du point O à la courbe, rencontrera un ou plusieurs des points isolés C, C’, C”, ..., par exemple le point C. Nommons R la position que prendra en ce moment l'extrémité P du rayon vecteur, et R', R” deux positions infiniment voisines situées, l’une en deçà, l’autre au delà de la position R. Soient enfin x, y, z, ... les valeurs de æ, y, 3, ... fournies par les équations (4) au moment où le point mobile P atteint la position R ou plutôt la position R’. Le rayon vecteur r continuant à se mouvoir, le point mobile P passera de la position R’ à la position infiniment voisine R”, à laquelle correspondront, en vertu de l'intégration curviligne, des valeurs de æ, y, z, ... qui différeront infiniment peu.de x, y, z, .... Mais il n’en sera plus de même des valeurs de æ, y, z,.. fournies par l'intégration rectiligne; et pour que, dans le passage du point O au point R’, l'intégration rectiligne reproduise des

valeurs de æ, y, 3, ... sensiblement égales à x, y, z, ..., il sera nécessaire que, en partant du point O, l’on attribue aux variables dépendantes æ, y, 3, ..., non plus les valeurs initiales &, 1, €, ..., mais d’autres valeurs initiales £,, n,, &,, .... Ajoutons que, pour obtenir ces dernières, il suffira évidemment d'appliquer l'intégration rectiligne aux équations (1), en faisant mouvoir le point P sur la ligne droite R’O, et le ramenant ainsi de la position R” à la position O.

Les valeurs £,, n,, (,, ... étant déterminées, si on les prend pour valeurs initiales, les valeurs générales de +, y, 3, ..., que produira l’intégration rectiligne, seront données, non plus par les équations (4), mais par des équations du même genre,

(16) æ—oi(t), Y—=Hitt), z—=(é),

en vertu desquelles x, y, 3, ... se réduiront à &,, n,,C,, ... pour ="; et, si l’on replace le point mobile P dans la position R, ou plutôt dans la position infiniment voisine R’, ces équations reproduiront précisément les valeurs x, y, z, ... des variables æ, y, 3, .... Si l’on suppose ensuite que le point P, poursuivant sa route primitive, se meuve sur le prolongement de la courbe 00’...R, les intégrales curvilignes correspondantes à cette courbe se confondront, en vertu du théorème I, avec les intégrales rectilignes représentées par les formules (16), jusqu'au moment où le rayon vecteur OP rencontrera de nouveau un point isolé. Alors, en raisonnant comme ci-dessus, on se trouvera conduit à substituer aux formules (16) d’autres formules du même genre,

(17) T— Pa(t), Y—=X2(4), 3 — (6), ….s

en vertu desquelles x, y, 3, acquerront, pour { = 7, certaines valeurs &,, n2s Co, ... généralement distinctes de £, NLG-28déE,;n;; Gi, -..s et il est clair que, en continuant de la sorte, on finira par obtenir, pour un point quelconque de la courbe 00'0”..., les valeurs cherchées de æ, y, 3, ..….

Les intégrales curvilignes des équations (1) étant ainsi connues,

quelle que soit d’ailleurs la courbe suivie par le point mobile P, on connaîtra, par suite, les intégrales complètes, c’est-à-dire le système des intégrales curvilignes-relatives à toutes Les formes que cette courbe pourra prendre, sans jamais passer par l’un des points isolés C, C’, C”, ... dont il lui sera néanmoins permis de s'approcher indéfiniment.

Dans d’autres articles, j’examinerai, en particulier, ce qui arrive quand X, }, Z, ... sont des fonctions non plus explicites, mais implicites de æ, y, z, ..., par exemple des fonctions dont les valeurs, assujetties à varier par degrés insensibles avec æ, y, z, ..., doivent vérifier certaines équations algébriques ou transcendantes; et je montrerai, par des applications diverses, l’utilité des formules générales

que je viens d'établir.

ASTRONOMIE. — Méthodes nouvelles pour la détermination des orbites

des corps célestes, et, en particulier, des comètes.