C. R., T. XXHIL, p. 887 (16 novembre

Dans les calculs relatifs à la détermination de l'orbite que décrit un corps céleste, par exemple une comète, on doit distinguer deux espèces de quantités. Les unes, savoir la longitude et la latitude géocentriques de la comète, et leurs dérivées prises par rapport au temps, sont immédiatement fournies par les observations, ou, du moins, s’en déduisent, pour une époque donnée, avec une exactitude d’autant plus grande, que le nombre des observations faites à des époques voisines est plus considérable. La comète étant censée décrire une section conique, et les quantités dont je viens de parler, ou plusieurs d’entre elles, étant supposées connues, les autres quantités, par exemple la distance de la comète à la Terre, ou plutôt la projection de cette distance sur le plan de l’écliptique, l’inclinaison de l'orbite, la direction de la ligne des

nœuds, etc., se déduisent des équations du mouvement, à l’aide de formules approximatives ou exactes. Parmi les formules approximatives, on doit remarquer celles qu'ont données Lambert, Olbers, Legendre, et, en dernier lieu, MM. de Gasparis et Michal. Parmi les formules exactes, on doit distinguer celles auxquelles sont parvenus Lagrange, Laplace et M. Gauss. Lagrange et Laplace ont ramené le problème à la résolution d’une équation du septième degré. Celle que M. Gauss à trouvée est du huitième degré, mais, peut être réduite, comme l'a remarqué M. Binet, dans un Mémoire que renferme le Journal de l’École Polytechnique, à l'équation déjà mentionnée du septième degré. D'ailleurs cette équation, comme l’a reconnu M. Gauss, offre quatre ou six racines imaginaires. Ajoutons que les coefficients qu'elle renferme peuvent être déterminés, au moins approximativement, à l’aide de trois observations de la comète. Mais comme, dans le cas où trois racines sont réelles, deux orbites différentes peuvent satisfaire à la question, il en résulte que, pour obtenir, dans tous les cas, une orbite complètement déterminée, on doit supposer connues au moins quatre observations faites à des époques voisines, ou plutôt les quantités dont les valeurs approchées peuvent être calculées à l’aide de ces quatre observations. J'ai cherché, en admettant cette supposition, un moyen simple de résoudre Le problème. Les astronomes apprendront, je l'espère, avec plaisir, qu’on peut, dans tous les cas, le réduire à la résolution d’une seule équation du premier degré.

J'ajouterai que, en supposant connues les seules quantités dont la détermination approximative peut s’effectuer à l’aide de trois observations, je ramène le problème à la résolution d’une seule équation du troisième degré.

ANALYSE

Prenons pour plan des +, y le plan de l’écliptique, pour demi-axes

des æ et y positives, les droites menées du centre du Soleil aux premiers points du Bélier et du Cancer, et supposons les z positives

mesurées sur une perpendiculaire au plan de l'écliptique du côté du pôle boréal. Soient d’ailleurs

æ, y, 3 les coordonnées de la planète ou de la comète que l’on considère ;

r la distance de cette comète au Soleil ;

x, y les coordonnées de la Terre;

BR la distance de la Terre au Soleil;

5 la longitude héliocentrique de la Terre;

2, 0 la longitude et la latitude géocentriques de la comète;

« la distance de la Terre à la comète;

2 la projection de cette distance sur le plan de l’écliptique.

On aura

(x) Z'=X.+ pCOS&X, YÆ=Y+psina, 3 = ptangô et (2) x = RCos&, y = sin.

De plus, en prenant pour unité de masse la masse du Soleil, et pour unité de distance la distance moyenne de la Terre au Soleil, on aura

encore T 3 (3) Dix+-—0, D?y+ 2 —o, 4% Je tte lrabe et x 2 * FT (4) DÊx+ 7; —0; ii fe 0

Or, des formules (3), jointes aux équations (1) et (4), on tire (5) D'p = Ap, Dip+£ = Bp, a.

les valeurs des coefficients 4, Z, C étant déterminées par le système

des formules

(6) { Cx+[B— (Dia) ]cosa — (D'a+24D,a) sin —o,

| Cy+[B—(D,a)] sina+ (D?a+ 24 D,x) cosa —0,

et la valeur de @ étant

(8) 9 = tang 0.

D'ailleurs on tirera des formules (1) et (2)

(9) r= R+2Rpcos(a—w)+(1+ 8°)p?.

Connaissant le mouvement de la Terre, on connaît par suite, à une époque quelconque, les valeurs des quantités x, y, À, 5. D'autre part, les valeurs des quantités «, 0 et les dérivées de ces quantités, différentiées par rapport au temps, peuvent se déduire, pour une époque donnée, d'observations faites à des époques voisines, avec une exactitude d'autant plus grande, que le nombre des observations est plus considérable. On peut y parvenir à l’aide de la formule d’interpolation due à Newton et employée par Laplace, ou mieux encore, à l’aide de celles que j'ai données dans un Mémoire lithographié à Prague, en 1837, et réimprimé dans le Journal de M. Liouville (").

Les valeurs de

4, DIX, ‘Dia HDi R "D?0 étant connues, les équations (6) et (7) détermineront les coefficients A, B, C, et l’on pourra dès lors tirer des formules (5) et (9) les va-

leurs de Ps rs Dip, D?p.

Si l’on considère en particulier la dernière des équations (5), il suffira d'en éliminer p ou r à l’aide de la formule (9) pour obtenir l'équation en r ou £ que donnent Lagrange et Laplace, et qui est du septième degré.

Concevons maintenant qu’à la première des équations (5) on joigne sa dérivée D?p = AD;p +oD,4; on en conclura

(1) Œuvres de Cauchy, S. U, T. Il.

D'ailleurs, les deux dernières équations (5) donnent

tb Die=(B— x —Cp)p.

En égalant l’une à l’autre les deux valeurs précédentes de D/9, on trouvera

(12) Cp=B— A'—D,4— >:

: Telle est l'équation du premier degré qui fournira immédiatement la valeur de l'inconnue p.

Pour tirer pratiquement de l'équation (12) la valeur de p, c’està-dire la distance d’une comète ou d’une planète à la Terre, ou plutôt la projection de cette distance sur le plan de l’écliptique, 1l est nécessaire de connaître au moins quatre observations complètes, afin que l’on puisse calculer au moins approximativement les dérivées du troisièeme ordre de « et de 0, contenues dans la valeur de D, 4.

Au reste, lorsqu'il s’agit d’une comète, et que l'orbite est supposée parabolique, on peut, des formules (5) et (9) jointes à l'équation des forces vives, déduire facilement une équation nouvelle qui, étant seulement du troisième degré par rapport à l’inconnue p, ne renferme plus les dérivées du troisième ordre D/«, D/0. On y parviendra, en effet, en opérant comme il suit.

Soit a le demi grand axe de l'orbite décrite. On aura généralement

(13) = (Dia) (Dir — (Dis.

D'ailleurs, de l'équation (13), jointe aux formules (r) et à la première des formules (5), on tirera (14) 2 EL 4 + Vp + Cp!

| , Ed “ e € p TP , les valeurs de 4, 15, € étant % = (D,x)}?+ (D,y},

ds — (A cosa — sinaD,a) D,x + (A sina + cosa D,a) D;7y,

Si l'orbite décrite se réduit à une parabole, en sorte qu’on ait = 0, l'équation (14) donnera simplement

(16) = À + Vp + Sp°.

D'autre part, la dernière des équations (5), présentée sous la forme

Lil Ll (7) : Hope 0

et combinée, par voie de multiplication, avec l'équation (9), donnera

ï I $ ë 9 2 = (x + Ce) A+ aRp c0s(a —m) + (1+ 6*)pt]

Done, eu égard à l'équation (16), on aura (18) (7 = Ce) LR + 2 Rp cos(a — ©) + (1+0?)p?] = À + VWp + Sp?. Telle est l'équation du troisième degré, à l’aide de laquelle on déduira facilement la valeur de la distance o des valeurs de &, 0 et de leurs dérivées du premier et du second ordre, quand l’astre donné sera une comète dont l’orbite sera sensiblement parabolique.

Il est bon d'observer que, si, en nommant w la vitesse de la comète, on pose

et, en vertu de la formule (13), (21)

Or, en différentiant la première des équations (19) et la formule (21),

on trouvera 3 2r Dir =D,R, 2 Dir. D, Q,

CEuvres de C.— S.1,t.X. 20

202 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE, et, par suite, |

NS ps LL D,AR

(22) De cette dernière formule, combinée avec l'équation (13), on tire

(23) (a + Cp)Den + D, = 0.

D'ailleurs, 8 et Q seront déterminées en fonctions de 5 par les formules (20), et, en vertu de ces formules, jointes à la première des équations (5), D,8, D,Q seront, ainsi que à et Q, des fonctions entières de p, du second degré. Donc l'équation (23) sera du troisième degré en p; et cette équation, qui subsistera, dans le cas même où l’astre donné cessera d’être une comète, et où l'orbite cessera d’être parabolique, pourra être substituée avec avantage à l'équation (18). Ajoutons que l'équation (23), comme l'équation (18), renferme seulement, avec les angles &, 0, leurs dérivées du premier et du second ordre, c’est-à-dire des quantités dont les valeurs approchées peuvent être déterminées à l’aide de trois observations.

MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — Rapport sur le système proposé par M. »E Jourrroy,

pour les chemuns de fer.