C.R., T. XXI, p. 956 (23 novembre

Dans la dernière séance, je suis arrivé à ce résultat remarquable, que le rayon + mené d’une comète ou d’une planète à la Terre, à uné

époque donnée, peut être fourni par une équation très simple du premier degré, dont les coefficients, pour l'ordinaire, peuvent être déterminés, au moins approximativement, à laide de quatre observations faites à des instants voisins de l’époque dont il s’agit. Si l'on nomme p la projection du rayon + sur le plan de l'écliptique, et r la distance du Soleil à la comète, les trois équations du mouvement fourniront, outre l'équation connue du septième degré, les valeurs de D, et de D’2 exprimées en fonction de e. En différentiant D,p, on obtiendra une seconde valeur de D°, et, en égalant cette seconde valeur à la première, puis éliminant D,9, on formera l'équation ci-dessus mentionnée. Si, comme l'indique M. Binet, on complétait les équations du mouvement en y introduisant les termes qui dépendent de l’action exercée par les autres planètes sur la comète, l’équation trouvée en p ne serait plus du premier degré; mais on pourrait, de cette équation jointe à celle qu’a donnée M. Binet, déduire une équation du premier degré, en faisant disparaitre les radicaux, et recourant ensuite à la méthode du plus grand commun diviseur. Le rayon 9 étant connu, ainsi que ses dérivées du premier et du second ordre, les coordonnées de la comète avec leurs dérivées relatives au temps, et par suite tous les éléments de l'orbite, sont aussi connus. D'ailleurs, on peut arriver de diverses manières à l'équation du premier degré, même lorsque l’on considère trois corps seulement. On a regardé comme difficile la détermination des longitudes et latitudes géocentriques et de leurs dérivées correspondantes à une époque donnée. Mais cette difficulté disparait lorsqu'on applique à cette recherche la formule d’interpolation que j'ai trouvée en 1837. Comme je le montrerai dans un prochain Mémoire, l'opération se partage alors en deux autres, dont l’une détermine des nombres qui dépendent uniquement des époques des observations, tandis que l’autre emploie seulement les longitudes et les latitudes déduites de ces observations mêmes.

Il me reste à faire encore une remarque essentielle. La formule que j'ai donnée dans la dernière séance suppose les longitudes et les latitudes géocentriques corrigées chacune de la quantité qui représente

l’aberration. Il semble, au premier abord, que ces corrections exigent un calcul approximatif préliminaire. Mais on peut rendre mon équation du premier degré, ou même toutes les formules astronomiques, indépendantes de la correction dont il s’agit, et introduire dans ces formules, au lieu des longitudes et latitudes géocentriques corrigées, les longitudes et latitudes géocentriques apparentes, directement tirées des observations. Ce qui ne pourra manquer d’intéresser ‘les astronomes, c’est la conclusion à laquelle je parviens; savoir que, dans ce cas encore, l'équation obtenue est, par rapport à p, du premier degré. |

ANALYSE

Admettons les mêmes notations que dans le précédent Mémoire. Après avoir déterminé p et D,p à l’aide des équations À I (1) Cp=B—A-DA— (2) D,p = Ap,

on déterminera +, y, z à l’aide des suivantes : 133 T—=X#+PpCOSE, Y=7y+psine, 3 —@p.

En différentiant ces dernières, on obtiendra les valeurs de D,æx, D, y, D,5. Si d’ailleurs on nomme 28 l’aire décrite, pendant l'unité de temps, par le rayon vecteur mené du Soleil à l’astre que l’on considère, et 2U, 2V, 2W les projections algébriques de cette aire sur

les plans coordonnés, on aura

(4) U—yD,;z:—3D,;7, V—=zD,;x—zxD,z, W=zxD,y—7}>D,x,

(5) S=VÜUr+ VIF Wi;

et, comme les quantités

UV W seront respectivement proportionnelles aux cosinus des angles formés par la perpendiculaire au plan de l'orbite avec les axes, il est clair que la seule connaissance de ces quantités, ou plutôt de leurs rapports, don-

nera immédiatement la position du plan de l'orbite. Ajoutons que la distance r de l’astre au Soleil et sa dérivée D,r seront déterminées par l'équation

L ï et par sa différentielle. Enfin, si l’on nomme o la vitesse de l’astre, a le demi grand axe de l’orbite, et « l’excentricité, on aura

(7) = (Die) + (Dir) + (Dis), I 2

(8) do rs Os

(9) a{i—e)=ar— ©» (Dir.

Disons maintenant quelques mots de la correction que l’aberration exige dans la détermination du rayon &.

On démontre aisément les deux propositions suivantes :

THéoRÈME 1. — Le rayon vecteur mené au bout du temps t de la Terre au lieu apparent de l’astre que l’on considère est sensiblement parallèle au rayon vecteur qu joignait la Terre au lieu vrai de l’astre, au bout du temps t — At, At étant le temps qu'emploie la lumiere pour venir de l’astre a la Terre.

THÉORÈME II. — Le rayon vecteur mené de la Terre au lieu vrai de l’astre, au bout du temps t, est sensiblement parallèle au rayon vecteur

qu joindra la Terre au lieu apparent de l’astre, au bout du temps t + Ar. Cela posé, soit (10) PSE.

la valeur de 9 fournie par l’équation (1). Soit d’ailleurs A la partie de

D, que l’on obtient en considérant, dans K, & et 0 seuls comme fonc-

tions de £, c’est-à-dire en rejetant seulement les termes que produit la

différentiation de R, vet D, 5. Lorsqu'on assignera aux quantités «, 0

et à leurs dérivées les valeurs que l’on déduit des observations, on OEuvres de C.—S.I,t.X.. ”

aura sensiblement, en vertu du théorème II,

(11) p= K + H At.

Si d’ailleurs on nomme 2 la vitesse de la lumière, et + la distance de la Terre à l’astre que l’on considère, on trouvera

(12) AE p —=+cCosb; par conséquent,

(13) At

Donc la formule (11) donnera

pP=K+

#COSÛ ?

et l’on en conclura pd L TEE nr ait (14) p — F : des 8 COS 0 ou, à très peu près, k H 19 = Ki1+ —— |!

(92 P ( de. est) ASTRONOMIE. — Note sur les formules relatives à la détermination

des orbites que décrivent les corps célestes.