C. R., T. XXIV, p.348 (8 mars

Dans mes anciens et nouveaux Exercices, j'ai donné les équations d'équilibre et de mouvement d’un système de points matériels sollicités par des forces d'attraction et de répulsion mutuelle, ou même de deux semblables systèmes qui se pénètrent mutuellement; et, après avoir spécialement considéré le cas où les mouvements sont infiniment petits, j'ai montré ce que devenaient alors les équations différentielles quand elles acquéraient une forme indépendante de la

direction des axes coordonnés. J'ai ainsi obtenu des équations générales et très remarquables, qui représentent les mouvements isotropes d’un ou de deux systèmes d’atomes ou points matériels. J'ai, de plus, dans un Mémoire présenté à l’Académie le 4 novembre 1839, étendu à un nombre quelconque de systèmes d’atomes les formules générales que j'avais précédemment établies, et j'ai obtenu, de cette manière, les équations propres à représenter les mouvements vibratoires ainsi que les mouvements atomiques des corps cristallisés, dans lesquels je considérais chaque molécule comme composée d’atomes de diverses espèces, qui, soumis eux-mêmes à diverses forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, pouvaient s'approcher ou s'éloigner les uns des autres en faisant varier la forme de la molécule. Toutefois, quand on se propose d'étudier, d'une part, les mouvements généraux de translation et de rotation des molécules, d’autre part, leurs changements de forme ou, en d’autres termes, les mouvements atomiques, il peut être utile de transformer les équations que je viens de rappeler, en prenant pour inconnues trois espèces de variables qui sont propres à exprimer ces trois espèces de mouvement. Tel est l’objet que je me suis spécialement proposé dans mes nouvelles recherches. Des neuf inconnues que mes équations renferment, trois représentent les déplacements du centre de gravité d’une molécule, mesurés parallèlement aux axes coordonnés; trois autres déterminent les directions des plans mobiles et rectangulaires auxquels il faudrait rapporter le mouvement pour que la vitesse de rotation moyenne et apparente de la molécule se réduisit constamment à zéro; enfin les trois dernières déterminent les déplacements de chaque atome mesurés parallèlement aux directions des axes suivant lesquelles se coupent ces plans mobiles. D’ailleurs, de ces neuf inconnues, les six premières peuvent être regardées comme fonctions de quatre variables indépendantes qui représentent le temps et les coordonnées du centre de gravité d'une molécule. Les trois dernières inconnues dépendent en outre des trois coordonnées qui déterminent la position qu’occupe, dans cette molécule, l'atome que l’on considère.

Les neuf équations du mouvement, propres à déterminer les neut inconnues que nous venons de mentionner, sont aux différences mêlées. Ces équations renferment, avec les dérivées des inconnues prises par rapport au temps, les accroissements qu’acquièrent les inconnues, lorsqu'on passe d’un atome à un autre, ou d’une molécule à une autre, et se partagent en trois groupes correspondants aux trois espèces d’inconnues, de telle sorte que les trois équations appartenant à un même groupe renferment les dérivées d'une seule espèce d’'inconnues, prises par rapport au temps.

Les six premières équations qui renferment les dérivées des six premières inconnues à l’aide desquelles s'expriment les mouvements généraux de translation et de rotation des molécules sont celles que nous appellerons les équations du mouvement moléculaire. Les trois autres, qui renferment les dérivées des inconnues propres à représenter les déplacements des atomes dans lés diverses molécules, seront nommées les équations du mouvement atomique.

Au reste, 1! est juste de le reconnaitre, on peut déduire directement les six équations du mouvement moléculaire de celles à l’aide desquelles M. Coriolis a représenté, dans le XV® Cahier du Journal de l’École Polytechnique, le mouvement d’un corps considéré comme un système de points matériels. I suffira, pour opérer cette déduction, de substituer à un corps envisagé comme un système de points matériels une molécule considérée comme un système d’atomes, et de substituer pareillement aux forces qui représenteraient les actions exercées par d’autres corps les forces qui expriment les actions exercées par d’autres molécules.

Le cas où les divers atomes sont uniquement sollicités par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle mérite une attention spéciale. Déjà Lagrange avait observé que, dans un système de points matériels qui s’attirent ou se repoussent, les composantes de la force totale appliquée à chaque point peuvent être représentées par les trois dérivées partielles d’une seule fonction, relatives aux trois coordonnées de ce point; et M. Ostrogradsky a montré le parti que l’on peut tirer de cette

observation, lorsque l’on considère, non plus un nombre fini, mais un nombre indéfini de points matériels. Or je trouve que, dans le même cas, les équations du mouvement moléculaire peuvent être réduites à une forme très digne de remarque, et que les seconds membres de ces équations peuvent être exprimés symboliquement à l'aide d’une seule fonction qui renferme, avec la distance des centres de gravité de deux molécules, des lettres symboliques à l’aide desquelles s’indiquent des différentiations effectuées par rapport aux trois variables qui représentent les projections de cette distance sur les axes coordonnés.

Si les distances qui séparent les molécules les unes des autres sont supposées très grandes par rapport aux dimensions de chacune d’elles : si d’ailleurs les actions mutuelles des atomes décroissent très rapidement quand la distance augmente; si enfin chaque atome est en équilibre à l'instant où le mouvement commence, ce mouvement pourra être tel, que chaque molécule conserve une forme sensiblement invariable. Alors, les mouvements atomiques venant à disparaitre, on aura seulement.à s'occuper des six équations qui exprimeront les mouvements de translation et de rotation de chaque molécule, et qui, comme l'a observé M. Savarv, dans la séance du 4 novembre 1839, pourront être facilement déduites des principes de la Mécanique rationnelle. On se trouvera ainsi ramené, par exemple, aux formules que j'ai présentées à l'Académie le 5 décembre 1842, ou bien encore à celles qu'a données M. Laurent dans son beau Mémoire sur les mouvements infiniment petits d’un système de sphéroïdes.

Il importe d'observer que la fonction symbolique renfermée dans les six équations du mouvement d’une molécule est le produit de trois facteurs. De ces trois facteurs, le dernier dépend uniquement de la distance comprise entre le centre de gravité de cette molécule et le centre de gravité d’une autre molécule; il est donc fonction des accroissements que prennent les coordonnées du premier centre de gravité quand on passe de ce premier centre au second. Quant à chacun des deux autres facteurs, il renferme trois lettres caractéristiques qui indiquent la formation de dérivées prises par rapport à ces accroisse-

ments, avec les quantités variables qui expriment les différences entre les coordonnées des atomes dont se compose une molécule et Les coordonnées de son centre de gravité.

Il peut arriver que l’un de ces deux facteurs, par exemple celui qui correspond à la molécule dont on détermine le mouvement, soit, au premier instant, une fonction #sotrope des variables qu’il renferme, c'est-à-dire une fonction dont la valeur soit indépendante des directions assignées aux trois axes coordonnés, supposés rectangulaires, Alors, si toutes Les molécules sont de même forme, le second facteur, c'est-à-dire le facteur correspondant à une autre molécule, sera luimême, au premier instant, une fonction isotrope des variables qu'il renferme, et les mouvements moléculaires pourront se réduire à des mouvements de translation des centres de gravité des moléeules, les rotations étant réduites à zéro. Par suite aussi, les équations du mouvement seront de la forme de celles qu’on aurait obtenues en réduisant les molécules à des points matériels. Ainsi se trouve généralisé un théorème que j'avais établi dans le Mémoire du 5 décembre 1842, et que j'ai rappelé dans la séance du 27 mai 1844 (voir le Compte rendu de cette dernière séance, page 970) (*).

Dans mes nouvelles recherches, j'ai spécialement considéré le cas où les mouvements de rotation deviennent infiniment petits. Dans ce cas, les trois inconnues correspondantes au mouvement rotatoire d'une molécule peuvent être réduites aux angles infiniment petits qui représentent les rotations moyennes de la molécule autour des axes coordonnés.

Dans un autre article, je développerai, à l’aide du calcul, les conséquences des principes que je viens d'exposer et des formules qui s’en déduisent.

(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, T. VI, p. 220.

THÉORIE DES NOMBRES. — Mémotre sur les racines des équations algébriques

à coefficients entiers, et sur les polynômes radicaux. C.R., T. XXIV, p. 407 (15 mars 1847).

in e s propriétés que possèdent les racines d'équations En recherchant les propriétés que possèdent d { algébriques à coefficients entiers, je me suis trouvé conduit à divers

résultats qui m'ont paru dignes de remarque, et que je vais indiquer en peu de mots.

$ [ — Sur les équations algébriques à coefficients entiers.

Soit o(æ) une fonction entière de x du degré », en sorte qu’on ait p(T)=dt+mr+...+ AmT".

Si les valeurs numériques des coefficients Œos is .. Am

se réduisent à des nombres entiers, l'équation

sera ce que j'appellerai une équation algébrique à coefficients entiers. SI

représente une seconde équation de même espèce, qui ait des racines communes avec la première, il suffira de chercher le plus grand commun diviseur algébrique entre les deux polynômes o(x), y(æ), puis d’égaler ce plus grand commun diviseur à zéro, pour obtenir une troisième équation

qui offrira toutes les racines communes aux deux premières. Cette

troisième équation sera elle-même à coeflicients entiers, si, avant d'effectuer chacune des divisions partielles que réclame la recherche du plus grand commun diviseur, on a eu soin de multiplier chaque dividende par un facteur entier, convenablement choisi. En constquence, on peut énoncer la proposition suivante :

Tnéorème 1. — Si deux équations algébriques et à coefficients entiers offrent des racines communes, celles-ci sont, en même temps, les racines

d'une troisième équation algébrique et à coefficients entiers.

Corollaire I. — En vertu des relations qui existeront entre les dividendes et diviseurs partiels et les restes correspondants, le premier membre de la formule (3 )sera évidemment lié aux premiers membres des formules (1) et (2), par une équation de la forme

(4) m(æ)—=up(x)—vy(x),

u, # étant deux fonctions entières de x à coefficients entiers. Si l’on nomme 7» le degré de o(x), » le degré de y (x), et v le degré de (x), les degrés de u et de + seront respectivement n — v — 1 et m —v—1. D'ailleurs, lorsque (x) sera connu, les valeurs de x et de pourront se déterminer directement à l’aide d’une méthode semblable à celle que j'ai donnée dans les Exercices de Mathématiques, t. 1, p. 160 (*).

Corollaire II. — Si, des deux équations données, celle qui est de degré moindre offre des racines étrangères à l’autre, la troisième équation sera nécessairement d’un degré inférieur aux degrés des deux

premières.

Corollaire III. — Si, des deux équations données, la seconde n'offre pas de racines étrangères à la première, o(æ) sera divisible algébri-

quement par 4(æ), et l'on aura (5) ko(z)=vx(x),

# désignant une nouvelle fonction entière et à coefficients entiers, et #

: (1) Œuvres de Cauchy, S. W, T. VI, p. 202.

une quantité constante. Si, dans le diviseur y (x), la puissance la plus élevée de + a pour coefficient l'unité, alors le coefficient Æ pourra être réduit à l'unité, puisque la division algébrique fournira immédiate- 4 PC)

KP) entiers. Donc alors la formule (5) pourra être réduite à

ment pour le quotien une fonction entière de æ à coefficients

(6) p(æ)—=vy(x).

Une équation algébrique et à coefficients entiers sera érréductible, s’il n’est pas possible de former une autre équation algébrique, de degré moindre et à coefficients entiers, qui ait avec elles des racines communes. Nous supposerons d’ailleurs généralement que, dans notre équation irréductible, les divers coefficients, réduits à leurs moindres valeurs numériques, n’offrent pas de diviseur qui leur soit commun à tous. Cela posé, le théorème I entrainera évidemment les propositions suivantes :

THéoRèME IT. — Une équation algébrique et à coefficients entiers n’est point irréductible, lorsque, parmi ses racines, quelques-unes seulement

vérifient une autre équation algébrique et à coefficients entiers.

TaéorÈME III. — Supposons que, X étant une fonction entière de x, à coefficients entiers, l'équation Lo soit irréductible. Si une seule racine x de cette équation vérifie une autre

équation algébrique et à coefficients entiers

alors la fonction o(æx) sera divisible algébriquement par la fonction X.

Donc, si dans cette dernière le coefficient de la plus haute puissance de x se réduit à l’unité, on aura

d(æx) désignant encore une fonction entière de + à coefficients entiers.

OEuvres de C.—S.1,t. X. 30

Les théorèmes IT et II fournissent le moyen de décomposer en équations algébriques irréductibles une équation binôme de la forme

n étant un nombre entier quelconque. On peut ainsi, par exemple, établir les propositions suivantes.

Tuéorème IV. — x étant un nombre entier quelconque, supérieur à 2,

nommons m le nombre des termes de la suite | 1, AH De Cp ie

qui sont premiers à n. Soit, de plus, (8) À — 0 l'équation algébrique et à coefficients entiers qui a pour premier terme x", pour dernier terme l’unité, et pour racines les diverses racines primitives de l'équation binôme (9) æ'—1—= 0.

L'équation (8) sera toujours trréductible.

Taéorème V. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème

précèdent, nommons 9 (x) une fonction entière de x à coefficients entiers.

St une seule racine de l'équation (8) vérifie la condition ; Q (æ)= 0, on aura, quel que soit æ, o(æ)=X4(x),

(x) désignant encore une fonction entière de x à coefficients entiers.

$S IL. — Sur les polynômes complexes ou radicaux.

Soit p une racine primitive de l'équation binôme (1) Æ'—1—=0, ñn étant un nombre entier quelconque. Une fonction entière 2(£) de cette racine pourra toujours être réduite à la forme

(2) P(P) = Go+ Gp + Gpi+...+ an-sp 1,

EXTRAIT Ne 356. 235

et représentera ce qu'on nomme quelquefois un rombre complexe. Mais ici le mot nombre parait détourné de sa signification naturelle. Afin d'éviter cet inconvénient, nous donnerons simplement à la fonction (0) déterminée par la formule (2) le nom de polynôme complexe, ‘ou, mieux encore, de polynôme radical, pour rappeler l’origine d’un tel polynôme dont les divers termes sont proportionnels aux diverses puissances d’une même expression radicale, savoir d’une racine ième de l'unité. | Soit maintenant »2 le nombre des termes qui, dans la suite

OR vie, Net,

sont premiers à ». Soit encore (3) X=—0o

l'équation réciproque et irréductible qui a pour premier terme +”, et pour racines les diverses racines primitives de l’équation (r). Toute fonction entière 9(æ) de la variable æ se réduira, pour æ —p, au reste qu'on obtient en divisant cette fonction par X; et, comme ce reste sera seulement de degré » — 1, ilest clair que tout polynôme radical 6(0) sera réductible à une fonction entière du degré »#— 71, c’est-à-dire à la forme

(4) E(P)—=@o+ ip + ap+...+ am iprt.

Lorsqu'un polynôme radical aura été ramené à cette forme, nous le dirons réduit à sa plus simple expression. Si les coefficients des diverses puissances de æ sont entiers avant la réduction, ils le seront encore après. Dans ce qui suit, nous considérerons seulement des polynômes radicaux, à coefficients entiers, et nous les supposerons réduits à leurs plus simples expressions. Lorsqu'un polynôme radical &(b), multiplié par un autre y(p), en produira un troisième f(b), nous dirons que celui-ci a pour facteur le polynôme o(e), par lequel il peut être divisé. Cela posé, un polynôme radical &(b) ou f(b) aura évidemment pour facteur entier tout nombre entier qui divisera tous les coefficients à la fois. De plus, un facteur sera linéaire, s’il est de la

forme a, + &,9; du second degré, s’il est de la forme &,+ a,p + a,p?; et ainsi de suite.

Ces définitions étant admises, on déduit immédiatement des principes établis dans le $ I les propositions suivantes.

Tuiorème 1. — po étant une des racines primitives de l'équation (x), et f(p) un polynôme radical à coefficients entiers, st ce polynôme est décomposable en deux facteurs de même forme o(e), (eo), en sorte qu'on ail (5) fe) = 9(p) x(e),

on aura encore, pour une valeur quelconque réelle ou imaginaire de la

variable x,

(6) f(æ) = 9(xz) (x) + X 4(x), (x) désignant une nouvelle fonction entière de x à coefficients enuers.

Taéorème Il. — 9 étant une racine primitive de l'équation (1), et X un nombre entier quelconque, st X se décompose en deux facteurs radicaux 2(p), 4(e) à coefficients entiers, en sorte qu'on ait (7) % — o(p)X(p),

on aura encore, pour une valeur quelconque réelle ou imaginaire de la

variable x, (8) M —p(z)4(x) + XY(x), (x) désignant une nouvelle fonction entière de x à coefficients entiers.

Taéorème II. — 9 étant une racine primitive de l'équation (1), st le nombre entier x admet un facteur radical linéaire, c’est-à-dire de la forme

do + di D»

on aura, pour une valeur quelconque réelle ou imaginaire de la va-

riable x,

(9) M = (a+ aær){(x) + AX,

Çun JERSIT EXTRAIT N° 356. S NA IFoMBT

1(æ) désignant une fonction entière de x, du degré m — 1, à coëfftcients entiers, et k un coefficient constant dont la valeur numérique soit

entière.

Dans la recherche des diviseurs radicaux d’un nombre entier donné x, on peut toujours supposer que le diviseur radical cherché, et même le quotient du nombre X par ce diviseur, n’offrent pas de facteurs entiers. En effet, si, dans l’équation (7), on supposait

p(p)—=coi(p) ou X(P)=cxe),

2,(e) ou y,(2) étant un polynôme radical à coefficients entiers, c devrait diviser x, et l'équation (7) pourrait être remplacée par la suivante

CT ou T = o(pr(py

On pourra donc toujours supposer, dans le théorème IT, que chacun des facteurs radicaux a,+ a,p, (9) n'offre pas de diviseurs entiers: Alors les coefficients &,, a, seront premiers entre eux, et par suite, comme il est aisé de le voir, chacun d’eux sera premier à n. Alors aussi, en nommant p un diviseur premier de %, on tirera de la formule (9)

(10) (a + aæ)t(e) +kX = 0 (mod. p}, quelle que soit la valeur attribuée à X. La formule (10) se réduirait à (11) (a+ ax)y(x)=0 (mod. p),

si p divisait Æ#. Mais, comme dans cette hypothèse l'équation (11), dont le degré est », devrait offrir p racines distinctes, il est clair que p devrait être inférieur ou tout au plus égal à m.

Lorsque, a, et a, étant premiers entre eux, le binôme radical a, + a,p sera diviseur de 3%; si d’ailleurs 3% n’a pour facteurs premiers

que des nombres supérieurs à 2, il suffira de choisir x de manière à vérifier la condition

(12) A+ AL=O (mod. XX), pour que la formule (10) entraine la suivante (13) X=0o (mod.X) et, à plus forte raison, la suivante :

(14) at = (mod. X).

Mais, d'autre part, si l'on nomme N l'indicateur maximum correspondant au nombre entier %, tout nombre + premier à X vérifiera la condition

(15) x ai See 4 (mod. ).

Enfin, si w désigne le plus grand commun diviseur de N et de z, les formules (14), (15) entraineront la suivante

(16) roles (mod. X),

et, dans cette dernière, w ne pourra se réduire à l'unité. Car, si à l'équation (13) on joignait la condition

(29): &=1 (mod. X),

x devrait se réduire à l'unité, ou bien encore au nombre 2, si n était un nombre premier ou une puissance d’un tel nombre. En conséquence, on pourra énoncer généralement la proposition suivante :

THÉORÈME IV. — 7, étant deux entiers quelconques, nommons m le nombre des entiers premiers à n, et N l'indicateur maximum COrrespondant au nombre X. Supposons d'ailleurs que le nombre R ait pour facteurs des nombres supérieurs à n, ou même à a(r — cp St 7 esl une puissance d'un nombre premier c. Pour que le nombre X admette un diviseur radical linéaire et de la forme

do + dr,

S dE Re.

&ÿ, 4, élant premuers entre eux, il sera.nécessaire que n et N offrent un

commun diviseur supérieur à l'unité.

Corollaire I. — Si x est un nombre premier, alors, en vertu du théorème précédent, N devra être divisible par n.

Corollaire II. — Si x et » sont deux nombres premiers, on aura N—=X —1;

et par suite, pour que % admette un diviseur radical linéaire de la forme a, + a, p, il sera nécessaire que x soit de la forme 4æ + 1. Considérons maintenant d’une manière spéciale le cas où » est un

nombre premier. Alors on aura

MEN ET et DS ER ga RE

Alors aussi la formule (13) offrira m2 racines distinctes; et, si x est décomposable en deux facteurs radicaux

do + dip, 2(0)

dont l’un soit linéaire, et dont aucun n’admette de diviseur entier, les » racines de l'équation (13) devront satisfaire à la formule (11), dont le degré est 7», et l’une d’elles à la formule (12). Dans un prochain article, nous appliquerons ce principe, et les principes analogues auxquels conduiraient les formules (6) et (8), à la décomposition des nombres entiers en facteurs radicaux, ou même des polynômes radicaux en polynômes de même espèce.

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur. le mouvement d’un système de molécules dont chacune est considérée comme formée par la réunion de

plusieurs atomes ou points matériels.