C.R., T. XXIV, p. 469 (22 mars
Préliminaire.
Le mode de démonstration, proposé par l’un de nos confrères pour le dernier théorème de Fermat, dans un Mémoire présenté à la séance du 1% mars, exigerait, comme l'a remarqué M. Liouville, que l’on établit d’abord, pour les polynômes appelés complexes, des propositions analogues à celles sur lesquelles repose, en Arithmétique, la décomposition d’un nombre en facteurs premiers. Une seconde difficulté se tire de la considération des expressions imaginaires désignées par z; dans le Mémoire dont il s’agit : car ces expressions étant, comme l’a remarqué encore M. Liouville, des diviseurs de l'unité, on ne saurait dire que leurs puissances ne peuvent diviser certains polynômes complexes, ni que, pour ce motif, la formule (11) de la page 315 (') soit irréductible. D’un autre côté, l’auteur d’une Note insérée dans le Compte rendu de la dernière séance s’est proposé de faire voir que le principe fondamental sur la décomposition d’un nombre en facteurs premiers, ainsi que la méthode d’Euclide pour la recherche du plus grand commun diviseur, sont entièrement applicables aux polynômes complexes; et, pour le prouver, il a commencé par reproduire, à peu de chose près, l'analyse dont M. Dirichlet à fait usage dans un beau Mémoire sur les formes quadratiques. A la vérité, l’auteur de la Note a reconnu que les mêmes principes s'appliquent aux polynômes complexes qui renferment les racines cubiques de l’unité; mais une objection s’élève contre le passage où il assure qu’on peut aisément étendre le même mode de démonstration aux nombres complexes de forme
(1) Comptes rendus, T. XXIV ; 1847.
EXTRAIT N° 5358. 241 plus compliquée qui dépendent des racines de l'équation binôme DEL,
n étant un nombre entier quelconque. En effet, suivant la Note citée, pour opérer cette extension, il suffirait de prouver que le produit d’un polynôme donné par les polynômes semblables qu’on obtient en substituant successivement l’une à l’autre les diverses racines imaginaires de l'équation binôme est un nombre toujours inférieur à l'unité, lorsque, dans le polynôme donné, chaque coefficient est compris entre zéro et l’unité. Or il est aisé de voir que cette dernière proposition ne saurait être admise, même dans le cas très simple où l’on prend 2 — 7. En effet, si l’on nomme p une racine primitive de l'équation binôme ERA
on aura, comme l’on sait,
et UE cr © AE NC SAINERE
pp pi pt pi pitt, et, par suite, le module de chacune des sommes
RARE p°
sera réduit au module commun des deux expressions imaginaires
2 ae 1 th DIV RS 17/1
c’est-à-dire à ÿ2. Donc le produit des deux sommes sera égal au nombre 2, ce dont il est d’ailleurs facile de s'assurer directement: et si l’on désigne par f(e) l’une des deux sommes, par exemple le tri- nôme complexe | PHP Hp" le produit de ce trinôme par les trinômes semblables qu'on obtiendra en substituant successivement à la racine p les autres termes de la suite |
Mons Pope sera égal au nombre 8, notablement supérieur à l’unité. Ajoutons que OEuvres de Ci SÉTCEX: 31
ce produit sera encore très peu différent du nombre 8, et par suite supérieur à l'unité, si, dans le trinôme
ap + 6p? + yp!,
on attribue aux coefficients x, 6, y des valeurs positives inférieures à l'unité, mais qui en diffèrent très peu. Généralement, si, x étant un nombre premier de la forme 47e + 1, on nomme r une racine primitive de l’équivalence ani = (mod. »),
les deux polynômes à
: p de op" ta p" + Lane pa Des 0" + 0" + D + a Fate ph
auront pour module commun l’expression
et le produit de tous les polynômes semblables qu'on obtiendra en substituant successivement à la racine p ses diverses puissances d’un degré inférieur à x sera
Le même produit serait réduit à
nt n+i\ ?
si, dans les polynômes donnés, chaque coefficient était réduit à !, et
alors ce produit surpasserait l'unité pour toute valeur du nombre premier 2, égale ou supérieure à 17. |
On voit, par ce qui précède, que la théorie générale des nombres complexes est encore à établir. Je vais essayer de poser ici les principes fondamentaux de cette théorie; je chercherai ensuite à en déduire le dernier théorème de Fermat.
EXTRAIT Nc 358. 243
SL — Considérations générales sur les polynômes radicaux. Propriétés diverses de ces polynômes.
Soit 9 une racine primitive de l'équation binôme Û M'A (1) ,
#7 étant un entier quelconque; nommons #2 le nombre des termes qui sont premiers à z, dans la suite
et désignons par
ces mêmes termes. Les diverses racines primitives de l'équation (1)
seront p; fs ee, Fes 2°:
et si l’on pose (2) A=(x—p)(x—pt)...(x—p#), alors (3) É AU
sera une équation à coellicients entiers, irréductible et du degré »». Si d’ailleurs on pose
(4) f(p) = à + 6p + yp?+...+ not-1,
les coefficients &, 6, y, ..., n étant réels, f(o) sera un polynôme complexe ou radical qui, étant réduit à sa plus simple expression, prendra la
forme
(5) (bp) = à + 6p + yp° +... + cpl;
et le produit de ce polynôme par les polynômes semblables qu'on obtient en substituant successivement à la racine 9 les autres termes
de la suite Pa D CAR : : ph
sera une fonction entière des seuls coefficients &, 6, y, ..….. Ce produit, composé de facteurs qui se déduisent les uns des autres suivant une loi déterminée, peut être appelé factoriel tout aussi bien que les factorielles arithmétiques et géométriques ‘dont j'ai parlé dans d’autres Mémoires (Tome XVII des Comptes rendus, page 641) ('). Nous lui donnerons effectivement le nom de /actorielle complexe ou radicale. Si on le représente par 6, on aura
(6) O—=f(p)f(pt)f(p?)...f(p#).
D'ailleurs la factorielle @ devra être soigneusement distinguée des modules de ses divers facteurs considérés comme expressions imaginaires. Si l’on représente ces modules par
Fa TR Tr vers Ph et les arguments correspondants par les angles
P; Pa; Pb» ...s Ph»
on aura
(7) f(p)= rend," f(p)=r, er. Vi, et (8) et à 0 à CURE EU
les angles p, p,, ..…., p, disparaissant dans la valeur de @, attendu que
les racines 2; p®, 0°, CS p'
de l’équation (3) seront imaginaires et conjuguées deux à deux. Pour ce même motif, les modules
seront eux-mêmes égaux deux à deux; et l’on aura, en tenant compte seulement des modules correspondants à la moitié des racines, savoir,
(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, T. VIH, p. 65.
: EXTRAIT N° 358. 245 aux racines non conjuguées, (9) O—rrers..., chaque module étant déterminé par une équation de la forme (10) r—f(p) f(pT").
Si l’on suppose la valeur du polynôme f(p) donnée par la formule (4), et si l’on attribue aux coefficients des valeurs x, 6, y, .….,n finies, la factorielle @ sera une fonction de ces coefficients qui ne variera pas quand on les fera tous croître ou décroître simultanément d’un nombre quelconque /, puisqu'on aura toujours, en prenant pour £ une racine primitive de l'équation (r),
(11) | 1Hp+pi+..:+pri—=o.
Done alors la factorielle @ conservera une valeur finie pour des valeurs infiniment grandes de /, c’est-à-dire pour un accroissement infiniment grand attribué aux divers coefficients. Mais il n’en sera plus généralement de même, si l’on attribue des accroissements infiniment grands à quelques coefficients seulement. 11 y a plus : si l’on suppose le polynôme f(9) réduit à sa plus simple expression et ramené à la forme (5), il arrivera souvent que la factorielle @ deviendra infinie pour des valeurs infinies quelconques des divers coefficients. Ainsi, en particulier, si l’on prend 2 — 3, en sorte que p désigne une racine primitive de l’équation binôme dre t À
alors, en posant
f(p) = à + 8p + 8y + 70°, on trouvera (Eat at Lame à Pad à ES
PERRET 2 gi Fr Le rie G=xt+6t+ y a6 — ay — 6y — ï
et par suite la factorielle @ conservera une valeur finie quand on attribuera simultanément aux trois coefficients &, 4, y un même accroissement fini ou infini. Mais elle deviendra toujours infinie, si l’on fait croître indéfiniment deux coefficients &, 6, ou l’un des deux seu-
lement. 11 y a plus : si le polynôme f(9) est supposé réduit à sa plus simple expression, on aura y — 0, et la valeur de 6, réduite à
+ où
deviendra toujours infinie pour des valeurs infinies des deux coeficlients ou de l’un des deux seulement.
IL importe d'observer que, en vertu de la formule (6), la factorielle @ est une fonction symétrique des racines primitives de l’équation (1). Done, si l’on nomme ç, la somme des Zi huissances de ces racines, c’est-à-dire si l’on pose
l'étant un nombre entier quelconque, @ sera une fonction entière, non seulement des coefficients &, 6, y, ..., mais encore des sommes
S1» S2» ee r$ Sm—1°
Done, si les coefficients «, 6, y, … offrent des valeurs entières, la factorielle © se réduira simplement à un nombre entier.
Parmi les valeurs nouvelles que peut prendre @, lorsqu'on y fait varier les coefficients &, 6, y, ..., on doit remärquer celles qu’on obtient quand on fait croître ou décroitre un ou plusieurs coefficients de quantités entières, et spécialement celles qu’on obtient quand on fait croître ou décroitre un seul coefficient de l'unité. Concevons, pour plus de commodité, que l’on désigne par @,, ou @;, ou O,, ..., ce que devient ® quand on fait croitre «, ou 6, ou y, .… de l'unité. On
aura évidemment (13) x —=[1+f(p)]{r+f(et)]...[r+f(pt)];
et comme, en vertu de la formule (13), les facteurs de @, seront deux
à deux conjugués, et de la forme 1+rerv-i, 1+re-Pv-1, la formule (13) donne
(14) a—=(1—2rcosp +r*)(1—2ra COS Pa + ras
EXTRAIT N° 358. 247 le nombre des facteurs du second membre étant égal à £m. On trouvera pareillement
(5) 6 — Le + F(p)] Let + F(p*)1... [ot + f(p#*)]
ou, ce qui revient au même,
(16) de [1+ pp) TL+ pra f(p#)]. Li + pA# É(p# I. D'ailleurs, une racine primitive 9 de l’équation (1) sera de la forme (17) pe envi,
s étant un arc réel que l'on pourra, si l’on veut, supposer déterminé par la simple formule
Cela posé, l'équation (16) donnera
(19) @—[i+a2rcos(p—w)+r?][1+2r, cos(p,— am) + PEPER
On trouve, de la même manière,
(20) @,—[1+2rcos(p—2m)+r?][1+2r,cos(p,—2ax) APT is NT ae
et ainsi de sûite. Par conséquent, si l’on attribue à f(e) la forme générale que présente la formule (5), les divers termes de la suite
ne seront autre chose que les diverses valeurs que prendra l’expres- Sion
(22) GQ—fi+oarcos(p—w)+r?][1+2r,cos(p — aw) & SU POV
lorsqu'on y substituera successivement, à la place de w, les divers termes de la progression arithmétique
(23) 0, w, 20, 90, ..., (n7—1)tw.
Observons d’ailleurs que, en vertu de la formule (18), si l'on porte, à
partir d’une même origine, sur la circonférence du cercle dont Île rayon est l’unité, les ares représentés par les divers termes de la progression (23), les extrémités de ces ares seront les sommets d’un polygone régulier inscrit au cercle, et qui offrira » côtés.
Soient maintenant (24) 0, 06, O,, ss O,
les valeurs que prend la factorielle 6, quand on y fait croître de l'unité, non plus les quantités «, ou 6, ou y. ..., mais les quantités — x, ou — 6, ou — y, .... Les termes de la suite (24) représenteront encore les valeurs que prendra successivement 6, si l’on y fait décroître «, ou #, ou y, ..… de la quantité — 1; et, en raisonnant comme ci-dessus, on prouvera que, pour obtenir ces divers termes, il suffit d'attribuer successivement à w les valeurs
0, 6, 20, 3w,::...,,:(n—-—1)5, non plus dans le produit Q déterminé par l'équation (22), mais dans le produit Q,, déterminé par la formule (25) Q—[r1—2rcos(p—w)+r?][1— 2r4cos(p — aw) + ci DAT TRE Il existe un moyen facile d'obtenir dans tous les cas une limite égale ou supérieure à la factorielle 6. En effet, posons, pour abréger,
P+HriHri +...
(26) Er in
ou, ce qui revient au même,
Re LP) fer!) + f(pa) fpe) ++ 1(pA) (PTE),
Le 158 LA 4 R sera la moyenne arithmétique entre les nombres représentés par les
produits (28) f(p)fp=t) FCpt) ftp) +. Cp?) f(pT").
D'autre part, on tirera de la formule (6), en y remplaçant p par =",
(29) @— f(p=1) f(p=4) Cp?) f(p7#),
et par suite on aura (30) = fe) f(pT!) F(p?) (p2)... F(p#) f(p7*).
Donc la moyenne géométrique entre les produits (28) sera la racine 2°"°
de @° ou @”. Mais la moyenne géométrique entre plusieurs nombres est toujours ou égale, ou inférieure à la moyenne arithmétique entre les mêmes nombres. On aura donc
et (31) ® <R?.
Si, pour fixer les idées, on suppose que » soit un nombre premier impair, On aura | Mm=n—1, et la formule (27) donnera
ab +ay+...+6y+...
on
Donc alors, en posant, pour abréger,
(sa + 6 a Ce D ET (33) (sa=at+6+y+..…,
on aura simplement
(34) ne 2(n—1) ?
par conséquent la formule (31) donnera
(35) esfens ets et, à plus forte raison,
(36) ef) |
Si chacun des coefficients &, 6, y, ... offre une valeur numérique OEuvres de C. — S.1,1t.X. 32
inférieure à l'unité, si d’ailleurs n, comme on peut toujours le supposer, se réduit à zéro, on aura
Sa —1,
et la formule (36) donnera
(37) On ?.
La même formule donnerait
si, 1 étant nul, on attribuait aux divers coefficients «&, 6, Mi des
valeurs numériques comprises entre les limites o et d.
Le cas où, dans le polynôme f(b), les coefficients «, 6, y, ..., 1n se réduisent, aux signes près, à des nombres entiers, mérite une attention spéciale. Lorsqu'un polynôme f(p) à coefficients entiers est le produit de deux autres polynômes de même espèce 9(0), (0), chacun de ces derniers est appelé diviseur du polynôme f(2); et, comme l’équation
f(p) = 9(p) x(p) entraine la suivante : f(p!)=œp(p!) xp’),
quelle que soit la valeur du nombre entier /, il est clair que, si 9(e) est diviseur de f(p), (9°) sera diviseur de f(p'). Si f(e) se réduit à un nombre entier #, on aura encore
