ACTE

nous pouvons affirmer que tout binôme radical de la forme

est un diviseur de l'unité, et tout binôme radical de la forme 1—p!, un diviseur du nombre entier n.

Remarquons encore, avant de terminer ce paragraphe, que, dans le cas où les coefficients «, 6, y, ... sont entiers, on peut de la formule (6) déduire le quadruple de la factorielle @, sous une forme semblable à celles sous lesquelles nous avons présenté, dans un précédent Mémoire, des entiers dont chacun est le quadruple d’une puis-

sance d’un nombre premier. Ainsi, par exemple, z étant un nombre premier, si l’on nomme 7 une racine primitive de l'équivalence

(39) xt 1 (mod. n), l'équation (6) donnera

la valeur de F(2) étant de la forme

pa— 3

F(p)}=a+b(p+p"+...+p LR RP po),

et a, b, «étant des coefficients qui seront entiers en même temps que

«, 6, y, .... Par suite, si l’on pose

(41) A—p—pr+p—p"+...— pl" et (42) A—2a—b—er, Bob Ee,

on aura (43) 49 — A°— B’A:.

Comme on aura d’ailleurs

(44) | M i, l'équation (43) donnera

(45) Et it Go TB.

On aura donc

(46) 46 — A*— nB*,

si 2 est de la forme 4{+ 1, et

(49) 48—A'+nB?,

si 2 est de la forme 47 + 3.

A l’aide des formules précédentes, il est facile de prouver que, si n est de la forme 4{+3, {étant positif, @ ne pourra se réduire à l'unité sans que cette réduction entraîne la condition B — o. En effet,

lorsque @ se réduit à l'unité, la formule (47) donne (48) nB*= 4 A1,

Or, 2 étant, par hypothèse, un nombre premier de la forme 4/+5,

on ne pourra vérifier l'équation (48) qu'en supposant, ou

(49) Riel, Ke ou (50) | À +0

On pourrait demander encore sous quelles conditions la factorielle @ peut se réduire au nombre premier z supposé de la forme 4/ +3. Or. si cette réduction a lieu, la formule (47) donnera

Donc alors A sera de la forme 2CG, C étant choisi de manière à vérifier l'équation

k — B?—=ncC;; et par conséquent, si À ne s’évanouit pas avec GC, 1l faudra que l’on ait

1 ne put; or net

Donc @ ne pourra se réduire à 72, à moins que l’on n'ait A—o RS.

Le polynôme f(b), déterminé par l'équation (4), renferme généralement 2 termes. Considérons maintenant le cas où, plusieurs des coefficients venant à s’évanouir, le nombre des termes est réduit à /. Si chacun des coefficients restants offre une valeur numérique inférieure à + On aura

+ . ss 4

et la formule (36) donnera

: È ANSE de rs)

En vertu de cette dernière formule, @ sera inférieur à l’unité, si l’on suppose /— 2, n étant supérieur à l'unité, ou /— 3, n étant supérieur à 3.

On verra, dans un autre article, les avantages que présente, pour la solution des deux problèmes précédemment indiqués, l'emploi de quelques-unes des formules que nous venons d'établir.

THÉORIE DES NOMBRES. — Mémoire sur de nouvelles formules relatives à la théorie des polynômes radicaux, et sur le dernier théorème de Fermat

(suite).