C.R., T. XXIV, p. 516 (29 mars

Lorsqu'on veut faire servir à la démonstration du dernier théorème de Fermat la considération des polynômes complexes, on a deux problèmes distincts à résoudre. D'abord, comme l’a fort bien remarqué M. Liouville, on doit faire voir qu’un produit de polynômes complexes ne peut être décomposé en facteurs premiers que d’une seule manière: puis, en supposant ce principe établi, on doit en déduire le théorème de Fermat. Les observations de M. Liouville et celles que j'ai insérées moi-même dans le Compte rendu de la dernière séance prouvent la nécessité d'attaquer ces deux problèmes. Je commencerai par m'occuper du premier. Après quelques recherches, je suis parvenu à Îe ramener à une question de maximum, ainsi qu’on le verra dans le paragraphe suivant.

S IE — Sur la décomposition d’un polynôme radical en deux parties, dont l’une corresponde à une factorielle plus petite que l'unité.

Supposons que, p étant une racine primitive de l’équation binôme

(1) at EP on pose (2) f(p) = à + 69 + yp +... + np 1,

4, 6, Y, ..., n étant des coefficients réels. Si ces coefficients s’éva-

nouissent tous, à l'exception du premier, le polynôme radical f(2) sera réduit à une quantité réelle «, et la factorielle correspondante au même polynôme sera représentée par &”*, m étant le nombre des entiers inférieurs à », et premiers à ». Alors aussi le polynôme f(£), réduit à la quantité réelle &, pourra être décomposé en deux parties, dont la première soit entière, et dont la seconde corresponde à un module compris entre les limites o, 1, par conséquent à une factorielle inférieure à l’unité. Il y a plus : en augmentant ou diminuant de l’unité, s’il est nécessaire, la première partie, on pourra toujours faire en sorte que le module de la Fons partie devienne inférieur

3 et la factorielle correspondante : à — Voyons maintenant s’il sera

si d'arriver à des résultats du même genre, dans le cas où les coefficients 6, y, ... cessent de s’évanouir tous à la fois, et si, dans ce cas encore, le polynôme f(o) pourra être décomposé en deux parties, dont la première soit un autre polynôme à coefficients entiers, mais tellement choisis que la factorielle correspondante à la seconde partie devienne inférieure à l'unité.

Soient CRE SR PUSERARTSS les entiers inférieurs et premiers à ». Posons, comme dans le SI,

F(p)= rer, [(pe)= racer,

r, ra -. étant les modules des polynômes f(p), f(p*), Enfin, soit

(3) et 4 PS PROS Lee PRES PE LE à

Rte

la factorielle relative au polynôme radical f(o), et concevons que dans la formule (3), on attribue aux coeflicients

MON Pr en des accroissements entiers, positifs ou négatifs, représentés par

(4) J Aa, A6, A, …. An.

La factorielle @ prendra un accroissement correspondant A6, et, parmi les diverses valeurs de @ + A6, il y en aura généralement une qui sera inférieure à toutes les autres. Nommons T cette plus petite valeur. La question qu'il s'agit de résoudre consiste évidemment à savoir si l’on aura toujours

(5) Tr.

Nous observerons d’abord que, en choisissant d’une manière convenable les accroissements attribués aux coefficients «, 6,Y,..., n, on peut abaisser la valeur numérique de chacun de ces coefficients au-dessous de +, et par conséquent la somme s, de leurs carrés au-dessous du nombre ;/, / étant le nombre de ceux des coefficients qui ne sont pas alors réduits à zéro. D'ailleurs, en vertu de la formule (36) du paragraphe précédent, la valeur de @ est toujours inférieure à

ns a S : !

(= —) . Donc, en opérant comme on vient de le dire, on obtiendra

n--1 dE 1e 840 < { “ 1) n—1 4 et l’on aura encore, à plus forte raison, m1 LEE El (6) is (2 :)

D'ailleurs, le second membre de la formule (6) est égal ou inférieur à l’unité, quand on suppose /— 2, n étant supérieur à l’unité, ou [= 3, n étant supérieur à 3. Done la condition (5) se vérifiera toujours, quand le polynôme f(p), réduit si l’on veut à sa plus simple expression, renfermera deux termes seulement, x étant supérieur à l'unité, ou trois termes, x étant supérieur à 3. Il y a plus : en s’appuyant sur la formule (31) du $ I, on prouvera assez facilement qu’on peut, à la condition (6), substituer la suivante

et que, en conséquence, la condition (5) se vérifie encore quand le polynôme f(2) renferme quatre termes au plus, quelle que soit d’ailleurs la valeur de 2.

Supposons maintenant que, dans l'équation (3), les coefficients %, 6, Ve. se 0

reçoivent précisément les valeurs pour lesquelles la factorielle 8 + A8 atteint sa plus petite valeur T, en sorte que cette plus petite valeur corresponde à des valeurs nulles des accroissements

Ai AG AY à...

et, par conséquent, à une valeur nulle de A@. L’équation