GR

Toutefois, pour que l'existence d’une telle fonction, qui devra offrir seulement douze valeurs distinctes, et par suite soixante valeurs égales, se trouve rigoureusement établie, 1l est nécessaire de prouver que les dérivées des trois substitutions Q, R, S fournissent un système de soixante substitutions conjuguées les unes aux autres. On y parvient en suivant la marche que nous allons indiquer.

D'abord, l’équation (27) pouvant s’écrire comme il suit,

(31) | RQ —Q-'R, on en conclura, en désignant par 2 et # deux entiers quelconques, (32) R# Q2 — Q(-0'4 R£.

Donc les dérivées des substitutions Q, R pourront toutes être présentées sous chacune des formes

En d’autres termes, le système des puissances de Q sera permutable avec le système des puissances de R. Donc, par suite, les dérivées des

deux substitutions Q, R, dont l’une est du cinquième ordre, l’autre du second, seront toutes réductibles à la forme

R#Q’, et formeront un système de solutions conjuguées dont l’ordre sera

D'autre part, les trois substitutions R=(7,#)(3,e), S—(x,u)(y,w), T=(æ,u)(z,v)

forment, avec l'unité, un système de substitutions régulières conjuguées; et, comme deux de ces substitutions donnent toujours pour produit la troisième, en sorte qu’on a, par exemple,

(33) RES T et SRE il en résulte que les substitutions R, S sont permutables entre elles et vérifient la formule