S,— Q'SQ
Alors on trouvera, non seulement
(36) So—S —(z,u)(y,w),
mais encore
| Si—=(z,v)(3,Y), (37) | Ss—=(x,y)(»9, u), S,—=(x,3)(w, 6);
et comme, en faisant croître ou décroître / d’un multiple de 5, on tirera toujours de la formule (35) la même valeur de S$,, il est clair que S, admettra seulement cinq valeurs distinctes, savoir :
(38) So=S,: Sy Sas Sss Se
De plus, comme, en vertu des formules (36) et (35), deux substitutions de la forme S,, S,, quand elles seront distinctes l’une de l’autre, feront passer à la place de æ deux variables diverses, il en résulte qu'une substitution de la forme Sy S;!
OEuvres de C. — S.1,t. X. 3
déplacera toujours la variable æ, et ne pourra se confondre avec une dérivée des seules substitutions Q et R. Donc, par suite, aux
dix valeurs du produit R«Q’
renfermées dans le Tableau
tons 0 OR TOO
(39) % | (R, RQ, R9', RO, 0!
correspondront cinquante valeurs du produit R‘ Q’ Sy,
qui seront, non seulement distinctes des substitutions (39), mais
encore distinctes les unes des autres; car, si l’on supposait
on en conclurait Q-1'R-FREQ2—S,S7!,
et cette dernière équation, ne pouvant être vérifiée dans le cas où S,, S, seraient deux substitutions distinctes, entrainerait la formule
PE: Sy.
Donc à deux valeurs distinctes de S, correspondront toujours deux valeurs distinctes du produit
R*Q?S;; et, si l'on multiplie successivement chacune des six substitutions (40) 1, So Si Sa Sa Sù
par les dix termes du Tableau (39), on obtiendra soixante substitutions distinctes les unes des autres, dont chacune se présentera sous
l’une des deux formes (41) R*Q*, R‘Q'5S,
Il reste à faire voir que ces soixante substitutions composent le système entier des substitutions dérivées de Q, Ret S ou, ce qui revient
au même, qu'une dérivée quelconque des substitutions Q, R, S est toujours réductible à l’une des formes (41).
Or, en premier lieu, on tirera de la formule (35), jointe aux équations (32) et (34), non seulement
(42) Sn = Q#S, QT?
et, par suite, (43) Sr Sy+n 07,
mais encore
(44) RS;—=S,R, RQ?S;—S,,:», RQ’, et généralement .
(45) REQS = SC in RE Q'.
D'ailleurs, de la formule (45) il résulte immédiatement que, si l'on nomme ? l'une quelconque des substitutions (39), et s l’une quelconque des substitutions (40), tout produit de la forme 98 sera en même temps de la forme s9, les valeurs de 2 et de $s pouvant varier dans le passage d’une forme à l’autre.
En second lieu, une dérivée quelconque T des substitutions Q, R, S pourra toujours être considérée comme le produit de plusieurs facteurs, dont les uns seraient dela forme 9, les autres de la forme s; et, dans un semblable produit, deux facteurs consécutifs 9, 2’ de la première forme pourront toujours être réduits à un seul facteur 9” de cette forme, puisque la substitution 22’ représentera encore une dérivée des substitutions Q et R. Donc, puisqu'on pourra aussi échanger entre eux deux facteurs consécutifs, dont l’un serait de la forme 9, l’autre de la forme 8, en modifiant convenablement leurs valeurs, on pourra toujours, à l'aide de réductions et d'échanges successivement effectués, ramener la substitution T à la forme 98, c’està-dire à l’une des formes (41), si, en désignant par 8, s’ deux des substitutions (40), on peut toujours réduire le produit ss’ à la forme 282,
et, par suite, à la forme 9s. Il y a plus : comme on tire généralement de l’équation (35) (46) Sr Si= Q!Sr:SQ"!,
il est clair que la substitution T sera effectivement réductible à l’une des formes (41), si l’on peut réduire tout produit de la forme
à la forme 98 ou, ce qui revient au même, à la forme $9. D'ailleurs, si l’on supposait / — o, on aurait
PE Len on
et par suite 8,5 serait effectivement de la forme 89, s et à étant réduits alors à l’unité. Donc, pour constater l'existence de la fonction de six variables qui, étant doublement transitive, offre trois valeurs distinctes, il suffit de prouver que, / étant l’un quelconque des nombres entiers 1, 2, 3, 4, on peut toujours vérifier la formule
en prenant pour s une des substitutions (38), et pour 9 l’une des substitutions (39).
La question, ramenée à ce point, peut être facilement résolue. Pour en obtenir la solution, je commencerai par observer que, s étant une substitution régulière du second ordre, on aura
St— 1, s—t—S$, Donc l'équation (47) pourra être présentée sous la forme
Or, la substitution à étant une dérivée des substitutions Q et R, par conséquent l’une des substitutions qui laissent æ immobile, il est clair que, si l’on peut satisfaire à l’équation (48), ce sera uniquement en prenant pour s celle des substitutions (4o) qui échangera x contre la
variable transportée à la place de æ par la substitution S,S. Cela posé,
comme aux valeurs GES PE. FANS
du nombre / répondront des valeurs de S,S représentées par les substitutions
(æ, u, F) (9 Ps 3), (æ;, 3, U, W, 7) (æ, F,usY; w), (x, u,3) (y; , w), qui font respectivement succéder à x les variables Used EE CU
il est clair qu’à ces mêmes valeurs de / devront correspondre des valeurs de s représentées par les substitutions
S, S,, S4, S, qui ramènent æ à la place des variables M PU
Donc la seule question à résoudre sera de savoir si chacun des quatre
produits SS,S, S,SS, S:5:5, SS,S
se réduit à une dérivée des substitutions Q et R. Or, une telle réduction a effectivement lieu pour chacun des deux produits S,S,S, S;S,S. Car on trouve immédiatement
(49) S,S29 = (7; Z, U, v,#)—Q, S,S3S = (7; W, Ps (PUS Een a
Quant aux deux produits SS,S, SS,s,
qui peuvent encore être présentés sous les formes SSS 4" SES, et qui sont, en conséquence, équivalents aux deux substitutions (u,v)(3,w), (u,3)(7,6),
ils ne sont certainement pas de la forme Q*; mais ils seront de la
forme RQ”, si le produit de chacun d’eux par R se réduit à une puissance de Q. Or, comme on trouve effectivement
ROBE UY, dv, us) QTL RSS,S=(Y,3,.u,v,œ) —0Q, on en conclura (50) SSS=RQT'—= OR, SS$SERUEONX, Donc; en définitive, chacun des produits SS,S, S,9:9; 91939 SS,58
se réduit à une dérivée des substitutions Q, R; et par suite on peut, avec six variables indépendantes,
Ty M MEME,
composer des fonctions qui, étant doublement transitives, offrent douze valeurs distinctes. Ajoutons que, pour caractériser une telle fonction, il suffit de dire qu’elle n’est altérée par aucune des trois
substitutions Q—(y,su,0,w), R=(y,æ)(:,9), S=(x,u)(y,w).
Il y a plus : comme on tire des formules (50) R—SS,8Q — Q-198,8 —QSS,S—SS,SQ-1 et de cette dernière, jointe à l’équation (35),
# R—SQSQ-15Q —Q-180$0Q-1S JI — Q8Q-SQS —SQ-SQS 0, le système des dérivées des trois substitutions Q, R, S se confondra évidemment avec le système des dérivées des deux substitutions Oset 8,
En conséquence, on pourra énoncer la proposition suivante :
THÉORÈME. — Avec six variables indépendantes
on peut toujours composer des fonctions, doublement transitives, qui offrent douze valeurs distinctes; et, pour caractériser une telle fonction, ul suffit de dire que sa valeur n’est pas altérée par les dérivées des deux
substitutions = Cyr, 3,u,0,w), S— (x, u)(ÿ; w).
En terminant ce paragraphe, nous observerons que la formule (51), combinée avec les équations (33), donne simplement
(52) T=QSQ"'SQ—Q-'SQSQ!, et que des deux formules F=QSQ"SQ, T—SQ-'08S0"!,
fournies par l'équation (52), la première entraine la seconde, attendu que, T étant une substitution du second ordre, on a
+, nr *
Observons aussi que des deux formules (49), la première, jointe à la formule (35), entraine l'équation
SS3: 81 = S:S:S—=QS,SSQ-—Q
et, par suite, l'équation | HS = Qt,
qui coincide précisément avec la seconde des formules (49).
$ IV. — Sur les fonctions qui sont à la fois transitives par rapport à six variables indépendantes, et par rapport à cinq ou à quatre de ces variables.
Conservons les mêmes notations que dans le $ III; mais concevons que la fonction Q, déjà supposée transitive par rapport à six et à cinq variables, soit encore transitive par rapport à quatre. Alors, d’après
ce qui a été dit dans le S$ II, le nombre »2 des valeurs distinctes de Q devra se réduire à l’un des entiers
AE Rire D'ailleurs, on pourra effectivement supposer P
mu: ou m5,
puisque, avec un nombre quelconque de variables, on peut toujours former des fonctions symétriques et des fonctions dont chacune offre seulement deux valeurs distinctes. Il reste à voir si l’on pourra aussi
supposer Mn ==>0
et, par suite,
Observons d’abord que, en vertu des principes établis dans le $ I, la fonction Q sera toujours altérée par toute substitution qui déplacera seulement deux ou trois variables, si l’on a »# — 6, et que, dans cette même hypothèse, certaines substitutions circulaires du quatrième ordre déplaceront quatre variables sans altérer Q. Il en résulte
qu’on aura R= 0, ks= 0, h, 50,
et même
Rae 0, puisqu’une substitution de la forme P, aura toujours pour carré une autre substitution de la forme P,,. Par suite aussi les formules (7), (8), (9), (10) du $ HT continueront de subsister, quand on y posera
m=56, en sorte qu’on aura (1) h; =19%, Ahss= 19 K2,2, y 24 Ks, (2) A;—204%, 3h3,3-—=20k3,3, 2 h3,9,9 = D Ka,0,2 he 19 Ke (3) 2Kk,+ ko,2 = 6, KR ts
(4) 24 ke; + 8k3,3-+ 3 k3,9,2 + 184,9 — 60.
En vertu de la seconde des formules (1), #,,, devra être un nombre pair. De plus ,, et par suite #,, devront encore être des nombres pairs, puisque toute substitution de la forme P, a pour inverse une autre substitution de la même forme. Enfin, les conditions
h,> 0, R:,:> 0 entraineront les suivantes :
k,> 0, Ks:5 20
Cela posé, il est clair qu'on ne pourra satisfaire à la première des formules (3) qu’en supposant
(3) rs 2, RE Ver 2,
et que, de ces dernières formules, jointes aux équations (1), (2), (3), on tirera
(6) As 30 Rio, Rs
Comme d’ailleurs toute substitution de la forme P, a, non seulement pour cube une autre substitution de même forme, mais aussi pour carré une substitution de la forme P,,, les formules (6) prouvent évidemment que les substitutions qui, sans altérer Q, déplaceront quatre ou cinq variables, se réduiront aux puissances de quinze substitutions circulaires du quatrième ordre et de six substitutions circulaires du cinquième ordre. Du reste, cette conclusion et les formules (6) elles-mêmes pourraient encore se déduire des principes que nous avons établis dans le $ II.
Passons maintenant aux formules (2) et (4). Après avoir démontré, comme dans le $ IT, que l’on a nécessairement
hs,3> 0, et, par suite, kK,3:>0,
on conclura de la seconde des formules (2) que #,,, est divisible par 3. D'ailleurs, » étant égal à 6, le nombre #,, ne pourrait atteindre la limite 6 que dans le cas où Q ne serait jamais altéré par aucune sub-
OEuvres de C. — S. I, t. X. 4
stitution de la forme P,,, ou, ce qui revient au même, par aucune
substitution de la forme P; | 4
P,, P' étant deux substitutions circulaires du troisième ordre, formées avec des variables distinctes; et cette dernière hypothèse est évidemment inadmissible; car, si elle pouvait se réaliser, alors Q, n'étant altéré par aucune des deux substitutions de même forme
Ph PP ne serait pas non plus altéré par leur produit Pi
c’est-à-dire par une substitution circulaire du troisième ordre, ce qui
serait contraire à l'équation 3 Ve 8 |
précédemment obtenue. Donc #,,, devra être un multiple de 3, supé-
rieur à zéro, mais inférieur à 6, et l’on aura nécessairement (7) | REA. À MS 10.
Cela posé, la formule (4) donnera
2h ke + 3Ka,0 9 +- 184,,2 — 36
ou, ce qui revient au même, (8) 8kç + Ka,o,2 + 6K,,2—12.
D'autre part, le nombre #,, devra nécessairement s’évanouir. Car, s'il ne se réduisait pas à zéro, alors, parmi les substitutions qui n’altéreraient pas Q, on trouverait une substitution de la forme P,, ou, ce
qui revient au même, de la forme P,P», P,, P, étant deux substitutions circulaires et permutables entre elles,
l’une du quatrième ordre, l’autre du second. Alors aussi Q ne serait
pas altéré par le carré P°
. EXTRAIT N° 320. | 27 de la substitution P, P,. Donc, en vertu de ce qui a été dit plus haut, il ne serait pas non plus altéré par les substitutions circulaires du quatrième ordre
PR re dont les carrés se réduisent à P°, ni même par la substitution P,, équivalente au produit de P,P, par P;', ce qui serait contraire à la for-
mule précédemment établie ho = 9:
On aura donc encore h,,2 25:09: k,
en sorte que la formule (8) pourra être réduite à (9) She ke se 12
Ce n’est pas tout : comme le nombre #,,, ne peut surpasser Île nombre m—6, on ne pourra, dans la formule (9), réduire #, à zéro. Done, pour vérifier cette formule, il faudra nécessairement
supposer RE RP En
et, par suite, eu égard aux formules (2), (10) As = 20 h3,2,2 = 10.
Ainsi, en définitive, si la fonction Q, étant transitive par rapport à six, à cinq et même à quatre variables, offre six valeurs distinctes, les substitutions
te HR CCR R, :...;
qui n’altéreront pas la valeur de Q, seront toutes, hormis celle qui se réduit à l’unité, de l’une des formes
P;, P3,3 P,,2, Pi: Ps; P;,25 et, comme on aura
he== 40, h3,3— 20, Ra,2,2 = 10, (12) h;=— 24,
h—=30, hs—1,
les divers termes qui, avec l'unité, composeront la suite
seront 20 substitutions de la forme P,,
20 substitutions de la forme P, ;, 10 substitutions de la forme P, ;, 24 substitutions de la forme P,;, 30 substitutions de la forme P,, 19 substitutions de la forme P,..
D'ailleurs, toute substitution de la forme P, a, non seulement pour cinquième puissance une autre substitution de même forme, mais aussi pour carré et pour quatrième puissance, deux substitutions de la forme P,P,, et, pour cube, une seule substitution de la forme P, , .. Or, de cette remarque, jointe à celles que nous avons déjà faites, il résulte évidemment que, dans l'hypothèse admise, les termes de la série (11) se réduiront aux diverses puissances de dix substitutions circulaires du sixième ordre, de six substitutions circulaires du cinquième ordre, et de quinze substitutions circulaires du quatrième ordre.
Concevons à présent que, pour abréger, l’on nomme ARR + AE
trois substitutions circulaires prises parmi celles qui n’altèrent pas la valeur de Q, la substitution P étant du sixième ordre, Q du cinquième ordre, et R du quatrième seulement. Comme on pourra disposer arbitrairement de la forme des lettres propres à représenter les variables qui devront succéder l’une à l’autre, en vertu de la substitution P, rien n'empêchera d'admettre que ces variables soient respectivement
Lis or Ps, On pourra donc supposer (13) Pr; PE, r,w), D'ailleurs, » étant égal à 6, si l’on nomme
(14) 1% Cor ms
les substitutions conjuguées qui n’altéreront pas Q considéré comme fonction des seules variables
le nombre des substitutions 1, &, 2, &, ..., représenté par le rapport
ES ES 120 — = —— — 20, m 6
sera précisément égal au nombre 2, des substitutions (15) AS rie y
qui, étant de la forme P,, c’est-à-dire circulaires et du sixième ordre, n'altéreront pas la valeur de Q considéré comme fonction de x, y, 3, u, , w. Donc, en vertu d’un théorème établi dans la séance du 15 décembre, page 1293 (‘), les substitutions
HS, A, seront celles que l’on déduit des expressions symboliques . P PR on (e) (b) (e) lorsque, après avoir exprimé chacune des substitutions RS
à l’aide des diverses variables placées à la suite les unes des autres, en assignant toujours la première place à la variable +, on réduit
Ps FF", à de simples arrangements. Donc, puisque la série (15) renfermera
nécessairement le terme P-', un des termes de la série (14), représenté par l'expression symbolique
| Er)
(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, T. IX, p. 473.
se réduira simplement à
rs 2 (y; w ) (3,9);
TYZzUVW et par conséquent Q, considéré comme fonction des quatre variables LE MP ne sera point altéré par la substitution régulière du second ordre (7: æ)(3, v).
Mais, comme on l’a vu, toute substitution régulière du second ordre qui n’altérera pas Q, devra être le carré d’une substitution R cireulaire et du quatrième ordre, comprise elle-même dans la série (T1). On pourra donc supposer
D'ailleurs, des deux substitutions (7,2,,v), (7,9,w,3),
qui représentent les deux valeurs de R fournies par l'équation (16), l’une étant le cube de l’autre, l’une et l’autre devront fæire partie de la suite (11). On pourra donc prendre pour R l’une quelconque d’entre elles, et supposer, par exemple,
Il sera maintenant facile, non seulement de trouver une substitution Q du cinquième ordre qui soit une dérivée des substitutions Q et R, mais encore de constater l’existence de la fonction transitive de six variables qui offre six valeurs distinctes. On y parviendra en effet, très simplement, à l’aide des principes établis dans la séance du 8 décembre, ainsi que nous allons le faire voir.
Les cinq puissances de P distinctes de l'unité, savoir
P=(z, 7,4; 0, mx PT PU P!, font succéder respectivement à la variable x les cinq variables
V5 sr Ua Ho SW
auxquelles succéderaient, en vertu de la substitution R = (y, z, æ, 6), les variables
et, comme ces dernières succéderaient elles-mêmes à æ, en vertu des
substitutions 4 pa. Pr, Pi, P, P:,
il en résulte que, si l’on pose
(18) RP — PS, PATENT, NP PRE ee PY,, RP'=PIW. chacune des substitutions
