AUS
la valeur de 5 étant D. AE
(14) | fes rs
Pareillement les divers termes de la suite O,, O6, .….., 0,
seront les diverses valeurs que reçoit le produit Q,, déterminé par la formule-
(15) Q—[i1—2rcos(p—w)+r?][1—2r, cos(p,— aw) + Pile
lorsqu'on attribue successivement à w les x valeurs dont il s’agit. Donc les formules (ro) et (11) seront vérifiées si l’on a
pour l’une quelconque des valeurs de w comprises dans la progression (13). |
En résumé, la valeur T de @, pour laquelle la condition (9) sera remplie, quelles que soient les valeurs entières attribuées aux accroissements
AG HS. An,
vérifiera constamment les formules (16). Cela posé, concevons que, pour un système donné de valeurs des coefficients &, #, y, ..., n, on nomme II le plus petit des termes compris dans les deux suites
dé: 06 :.., 6;, SN 0 5, nr
II sera en même temps le plus petit des nombres qui représenteront les diverses valeurs de Q, Q correspondantes aux divers termes de la progression (13); et la condition (5) sera toujours remplie, si, pour des valeurs quelconques attribuées aux coefficients &, 6,Y, ...,1n, par
conséquent aux modules r, r,, r;, ... et aux angles p, p,, ps, ..., la factorielle (17) DIRE PE.
est constamment inférieure à l'unité, lorsqu'elle vérifie la formule (18) 9 © Ii,
ou, ce qui revient au même, la formule
0 désignant un nombre compris entre les limites o, r. Observons, à présent, que si l’on pose
les polynômes | f(p}; f(p*), -.., f(p*)
s’évanouiront tous avec leurs modules. On aura donc alors
iF—0, ru oO, #0 ricre
et 0 =0 <r;
par conséquent, la condition (5) sera vérifiée. Alors aussi les formules (12) et (15) donneront
dû,
et par suite on aura MT:
Supposons maintenant que les coefficients in: : 6 ess
cessant d’être nuls, acquièrent de très petites valeurs numériques qui
soient entre elles dans les rapports donnés, et posons (20) BH ri+.. + rés on aura sensiblement, pour de très petites valeurs de 2,
Q —1+2[7cos(p —w) + r, Cos( pa — aw) +...],
Q—1—2[7rcos(p —w) + ra COS(pa— aw) +...], lorsque l’angle w sera choisi de manière que la somme T COS(Pp — &w) + ra COS( Pa — AW) +...
ne s’évanouisse pas. Donc alors, des deux quantités Q, Q, la plus petite sera inférieure à l’unité, et l’on aura
Het
Alors aussi la valeur de 6, tirée de la formule (17), sera très petite, par conséquent inférieure à l'unité; et, comme IT différera peu de l'unité, cette valeur de @ vérifiera certainement la condition (18), ou, ce qui revient au même, la condition (19).
Supposons enfin que les coefficients
RE EE TT EU continuent à varier, par degrés insensibles, avec les arguments
T's Ts Th ..)
et les modules P; Pas Pb» ….r
et que, en conséquence de cette variation, la valeur de à croisse indéfiniment. Quand la valeur de @, donnée par la formule (17), vérifiera la condition (18), on aura, d’une part,
(21) GPA TR 1:55
9 étant un nombre inférieur à l'unité; et, d'autre part,
tant que l'unité surpassera la valeur commune des deux membres de la formule (21), et, par suite, la valeur du produit
FESPÉS:
Donc, en vertu de ce qui a été dit plus haut, la condition (5) sera toujours remplie, si l'unité surpasse la plus grande valeur de O1 que l’on puisse déduire de la formule (21), en y faisant croître les
modules
par degrés insensibles à partir de zéro, et en supposant aa à
Il y a plus : il est facile de s’assurer que cette plus grande valeur de
OIT correspond précisément à Bt
Donc le premier des problèmes qu’il s’agissait de résoudre se trouve
ramené, comme nous l’avons dit, à une question de maximum, savoir
à celle dont voici l’énoncé :
ProBLèmEe. — Soit IT la plus petite des valeurs que fournissent pour Q et pour Q, les formules (12) et (15), quand on y substitue successivement à la place de w les divers termes de la progression (13). Concevons d’ailleurs que les modules
Fr: Far: 16 +9 d’abord réduits à zéro, varient, par degrés insensibles, avec les arguments
Ps Pas Pbs :*-:3 de manière à vérifier l'équation
(22) | Mes rtriri....
On propose de rechercher la plus grande des valeurs que pourra prendre, dans cette hypothèse, la fonction W, et d'examiner st cette plus grande
valeur est inférieure à l'unité.
On peut remarquer d’ailleurs que la plus grande des valeurs de II sera précisément la limite supérieure à laquelle pourra s'élever, sans la dépasser jamais, la quantité représentée par la lettre T dans la formule (5).
Le problème étant réduit à ces termes, donnons maintenant, en quelques mots, une idée suceincte des procédés qui peuvent en fournir la solution.
Comme nous l’avons déjà remarqué, les diverses valeurs de w, comprises dans la progression (13), représentent des ares dont les extrémités sont les sommets d’un polygone régulier de x côtés inscrit au cercle. Par une conséquence nécessaire, les arcs, que représenteront les diverses valeurs de p — w et même de x + p — w correspondantes aux diverses valeurs de w, auront encore pour extrémités, lorsque le nombre 7 sera pair, les sommets d’un polygone régulier de » côtés. Mais, si x est impair, les extrémités des ares correspondants aux diverses valeurs de p —w seront distinctes des extrémités des arcs correspondants aux diverses valeurs de x + p — w; et les extrémités de ces deux espèces d’arcs marqueront les sommets d’un polygone régulier de 2n côtés. Il est aisé d'en conclure que, pour un système donné de valeurs des modules
