PRES PS: NT
IT sera inférieur au produit T * à 9 I—2rcos> +r* G+r}G+r,)..., si x est un nombre pair, et au produit T 2 2 2 1 2r Cor (G+r)}(+rs)?..., si 2 est un nombre impair. Par suite aussi, lorsqu'on fera croître les
modules Ty as bs, ap le
supposés d’abord réduits à zéro, par degrés insensibles, la valeur de IT,
fournie par l'équation (22), ne pourra devenir supérieure à celle que
détermineront les formules
. T 2 »*\n—2 m — pm (23) I—2r cos +r (+ r)rri= re, Er”, si 2 est un nombre pair, ou les formules (24) (1 arcos +1) CE PUIS ES, H = 7",
si » est un nombre impair.
Si, pour fixer les idées, on suppose 2 — 4, on aura MES! .
et, comme p sera une racine primitive de l’équation FES à
on aura encore P+I— 0, pREV-1,
O— (a+ 6p) (ax + 6pi) — x? + 62.
Alors aussi les formules (23) donneront
CP À . . FI I et la quantité T elle-même ne pourra surpasser la limite supérieure +
que cette quantité atteindra effectivement, si dans la factorielle
O — ax? + 6?
on pose
Re
Supposons maintenant z — 3, on aura
et les formules (24) donneront
|: ART NS re :
Las 8 — , = —) (26) .
Par conséquent, la quantité IT et la quantité T elle-même auront pour limite supérieure la fraction 3 qu’elles ne dépasseront jamais.
Il importe d'observer que la première des équations (23) peut être présentée sous la forme
(27) LG — r)} + (2 sin =)rl (1 ne r}n2 — 1 — 0. Or, dans cette dernière équation, le premier membre sera réduit à
l’unité, si l’on pose r — 0; et, si l’on fait passer r, par degrés insensibles, de la valeur 7 — o à la valeur r — 1, le premier membre passera
FOIRE LT 2|SIn — | —1 2n
de la valeur 1 à la valeur
qui sera négative, si l’on a
(28) sin — <(:) ) 2n 2 et, à plus forte raison, si l’on a ; T I E (29) RS (2) ;
Cela posé, il est clair que, si la condition (28) ou (29) est remplie, l'équation (27) offrira une racine positive comprise entre les limites o et r. Il est vrai qu'une autre racine positive sera comprise entre les limites 1 et æ, Mais de ces deux racines ce sera la plus petite, comprise entre les limites o et 1, qui, substituée dans l'équation
Il sur À rs
fournira une limite supérieure à la valeur maximum de II. On doit
en conclure que, si la condition (28) ou (29) se vérifie, 2 étant un nombre pair, la valeur maximum de IT sera inférieure à l'unité, et qu'alors la condition (5) sera toujours remplie.
Pareillement on conclura des formules (24) que, » étant un nombre impair, la condition (5) se vérifiera toujours, si l’on a
(30) sin Ve *S (2) gr
et, à plus forte raison, si l’on a
Si l’on prend successivement pour » les nombres pairs BU OR SALON LES: 14, on trouvera, pour valeurs correspondantes de #2, les nombres 2, 2, 4, 4, 4, 6,
et les valeurs correspondantes du produit
seront les nombres Fe 6, 4, b, 6, 2,
qui sont tous supérieurs à r —3,1415.... Donc alors la formule (29) sera vérifiée, et l’on pourra en-dire autant de la condition (5). Si l’on prend successivement pour » les nombres impairs
19, on trouvera, pour valeurs correspondantes de #2, les nombres 2, 4, 6, 6, 8,
et les valeurs correspondantes du produit
OEuvres de C. — S.I, t.X. 4
seront les nombres
