D KO

qui tous surpassent le nombre +. Donc alors la condition (31) sera vérifiée, et l’on pourra en dire autant de la formule (5).

Il est donc déjà démontré que la condition (5) se vérifie pour tout nombre entier » qui ne surpasse pas le nombre 10, et même pour ñn — 12, ainsi que pour » — 14 et pour 7 — 15.

Lorsque le nombre » est égal à 11 ou à 13, et lorsqu'il surpasse 15, les formules (23) et (24) ne fournissent plus le moyen de prouver que T reste toujours inférieur à l'unité. Mais on ne doit pas en conclure que la condition (5) cesse d’être remplie. Il y a plus : on est conduit à penser qu’elle doit l'être encore, par les raisons que je vais indiquer.

Lorsque le nombre z est très grand, un point quelconque de la circonférence décrite avec le rayon + est toujours très voisin de l’un des sommets d’un polygone régulier de z côtés, ou de 2x côtés, inserit à cette circonférence, et par conséquent très voisin de l'extrémité de l’un des arcs représentés par les divers termes de la progression (13). Alors, assujettir l'angle © à demeurer compris parmi les termes de cette progression, c’est, à peu de chose près, le laisser entièrement arbitraire. D'ailleurs si, dans la fonction Q ou Q,, on laisse l'angle w entièrement arbitraire, la plus petite valeur IT de Q ou de Q’ sera une fonction entière des modules 7, r,, r;, ..., ainsi que des arguments p, Pas Pis -..3 et alors la valeur maximum de IT, déterminée à l’aide du Caleul différentiel, sera, comme je le prouverai dans un autre article, représentée par la fraction

Or cette dernière fraction, qui peut être considérée comme la valeur approchée du maximum de IE correspondant au cas où l’on prend pour © un terme de la progression (13), sera très petite, par consé-

RS

quent très inférieure à l'unité, quand le nombre » sera supérieur à r0; d’où il est naturel de conclure que la quantité dont elle représente une valeur approchée sera encore inférieure à l'unité. Toutefois, comme les raisons que je viens d’énoncer ne suffisent pas pour constater en toute rigueur l'existence de la condition (5) dans tous les cas possibles, je me propose de revenir encore sur cet objet dans un autre Mémoire, et de compléter ainsi la solution du problème dont je viens de m'occuper.

La formule (5), une fois établie pour un nombre donné », devient la base fondamentale de la théorie des polynômes complexes ou radicaux, qui renferment les racines de l'équation x"—1, et permet de résoudre avec une grande facilité des problèmes relatifs aux résidus quadratiques, cubiques, etc., ainsi qu’une multitude de questions de nombres. En partant de cette formule et en faisant usage de la méthode suivie par M. Dirichlet, dans le Mémoire que j'ai déjà cité, on obtient facilement la décomposition des. polynômes radicaux ou complexes en facteurs premiers, c’est-à-dire en facteurs radicaux, dont chacun n'ait pour diviseurs que lui-même et les diviseurs de l'unité; puis l’on étend à ces polynômes et à ces facteurs les théorèmes que l’on démontre en Arithmétique pour les nombres entiers. On reconnait, par exemple, que tout diviseur premier du produit de deux polynômes radicaux doit nécessairement diviser l’un des facteurs, et que, st un polynôme radical étant élevé à une puissance du degré n, on décompose celte puissance d’une manière quelconque en facteurs premiers entre eux, chaque facteur sera nécessairement une autre puissance du degré n, ou du moins le produit d'une telle puissance par un diviseur de l'unité. On reconnait enfin que, st, » étant un nombre premier, @(p) est un facteur premier d'un nombre premier p, les seuls facteurs premiers de p seront

les termes de la suite

GPN GED) See, oo),

et les produits de ces termes par les diviseurs de l'unité. Ces mêmes termes seront, comme 1l est aisé de le voir, premiers entre eux,

lorsque le nombre p sera de la forme 27 + 1, et alors leur produit sera précisément égal à p. Mais si le nombre premier p se réduit au nombre premier 2, supposé impair, ses facteurs premiers, représentés par les

termes de la suite LP, IP ss. APT

cesseront d’être premiers entre eux, puisque l’un quelconque de ces termes est le produit d’un autre arbitrairement choisi par un diviseur

de l’unité.

TnéoRIE DES NOMBRES. — Memoire sur de nouvelles formules relatives à la théorie des polynômes radicaux, et sur le dernier théorème de Fermat (suite).