CORTE

Ve pt = pp) xp); puis on en conclura, en désignant par k, # deux termes distincts de la suite 1, 2,93,.4i, n #7, (17) pr pl (pt) 2 (p#) — o(p#) x CPE) Or il résulte de la formule (17) que les deux facteurs pp"), p(p*)

seront premiers entre eux; car, s'ils ne l’étaient pas, ils offriraient un commun diviseur qui diviserait tout à la fois le nombre p et la différence 4 — p#, sans être diviseur de l'unité. Mais la différence

: ph — ph ph(i— ph-#)

correspond, ainsi que le binôme 1 — p"-”, à la factorielle 2; done le diviseur commun devrait diviser les deux nombres premiers x et p, sans être diviseur de l’unité, ce qui est impossible. Donc, si &(p) est un facteur premier de p, deux termes quelconques de la suite

pp); pp), 5 (p"—")

seront prémiers entre eux; et, puisque chacun d'eux divisera le nombre premier p, leur produit ou la factorielle correspondante à 2(e) divisera encore ce nombre dont elle ne pourra différer, en sorte

qu'on aura

Ajoutons que les seuls facteurs premiers de p seront évidemment les termes dont il s’agit et les produits de ces termes par les diviseurs de l'unité. On peut donc énoncer la proposition suivante :

THéorÈèME Il. — Soient n un nombre premier impair, © une racine pri-

mitive de l'équation Æ'— 1 0,

el p un nombre premier 1mpair de la forme nl+ 1. Le nombre p sera décomposable en n facteurs radicaux et premiers entre eux, dont on ne pourra fatre varier les formes qu'en les multipliant respectivement par des diviseurs de l'unité tellement choisis, que le produit de tous ces divi-

seurs se reduise à l'unité.

Concevons à présent que l’on désigne par A, B deux nombres entiers quelconques, ou même deux polynômes radicaux formés avec les racines de l'équation (1). On aura

(19) A+ Br—(A+B)(A+Bp)...(A+ Bp"-1), par conséquent

Va0) PARTS

= (A+ Bo) (A+ Bp°)...(A + Bot).

Gela posé, considérons en particulier deux des facteurs binômes compris dans le second membre de la formule (19), par exemple les fac-

teurs A+Bo!, A+ Bo’,

h, Æ étant deux termes distincts de la suite 1, 2,..., n — 1. Tout divi-

seur commun de ces deux facteurs devra diviser leur différence B(L” gx Fa À

donc il devra diviser ou B et par suite A, ou le binôme radical g/ — £* et par suite le nombre 7. On peut donc énoncer la proposition sui-

vante :

HéoRèME III — e etant deux nombres entiers ou méme deux Tuéorème III À et B étant deux nom lier's ÿ d

OEuvres de C.— S.1,t.X. 35

polynômes radicaux arbitrairement choisis, tout polynôme qui divisera

deux des facteurs binômes du rapport