AP + B° À + B

Là c'est-a-dire deux termes de la suite (21) A + Bo. À + Bp°, FA À + Bp"-,

sera nécessairement ou un diviseur de n, où un diviseur commun de À et

de B.

Soient maintenant, s'il est possible, A, B, C trois quantités entiéres

qui vérifient la formule

Si A + B est premier à x, on pourra La dire autant de A+Bot—A+B—B(1—p#),

h étant un nombre entier quelconque, et alors chacun des termes de la suite (20) sera le produit de la rime puissance d’un certain polv-

( por nôme radical 2(°) par un diviseur de l’unité. Donc, en nommant 5(o) i 1 À J

ce diviseur, on aura (23) A+Bp=w(p)[o(p)]l",

et l’on doit ajouter que la formule (23) continuera de subsister quand on y remplacera 9 par l’un quelconque des termes de la progression

géométrique 0, p?, PER DT.

Si A + B cessait d’être premier à », alors, dans la formule (23), &(p) serait, non plus un diviseur de l’unité, mais un diviseur de 2.

Si maintenant on pose (24) D(p)—=v(o)p(p")...p(p"""),

r étant une racine primitive de l’équivalence (4); si d'ailleurs on

nomme Ie), F(e) ce que devient ®(£) quand on remplace la fonction 9(e) par (pe) où par À + Bb, on tirera de la formule (23)

(25) F(po)=H(p)[®(p)}", F(p") =I(o") LP (p")1";

et chacune des fonctions F(2), F(2") sera la moitié d’une expression

de la forme Hô:

a, b étant deux quantités entières, et la valeur de A étant donnée par l'équation (6). Ces mêmes fonctions sont précisément celles dont la considération a fourni les démonstrations connues du dernier thé6orème de Fermat pour certaines valeurs spéciales de », et, en particulier, pour 2 —3 ou 5. Effectivement, lorsqu'on pose #7 —3, par exemple, on peut déduire immédiatement des formules (25) une démonstration qui coïncide, au fond, avec celle qu'Euler a donnée. Mais il reste à voir quelles sont les conséquences auxquelles peut conduire la considération des fonctions F(2), F(2”}, lorsqu'on attribue à n des valeurs différentes de celles pour lesquelles on était déjà parvenu à démontrer le dernier théorème de Fermat. C'est ce que j'examinerai dans un autre article.

Comme je l'ai déjà remarqué, la théorie précédente s'appuie sur la formule (5) du $ IT. F'examinerai, dans les paragraphes suivants, les objections qui peuvent s'élever contre la démonstration donnée de cette formule quand le nombre » est considérable. On verra que, pour rendre rigoureuses cette démonstration et les conséquences déduites de la formule, il suffit, dans certains cas, de prendre pour @ le module même du polynôme radical f(L), et de substituer partout ce module à la factorielle que © représentait auparavant.

THÉORIE DES NOMBRES. — Mémoire sur de nouvelles formules relatives à la théorie des polynômes radicaux, et sur le dernier théorème de Fermat

(suite).