C. R., T. XXIV, p. 633 (12 avril

Comme je l’ai remarqué dans l’avant-dernière séance, lorsqu'on veut faire servir à la démonstration du dernier théorème de Fermat la considération des polynômes complexes ou radicaux, formés avec les diverses puissances d’une racine z“*%* de l'unité, on a deux problèmes à résoudre. Le premier, et le plus important, puisqu'il suffit de le résoudre pour établir sur des bases solides la théorie générale des polynômes dont il s’agit, consiste à faire voir qu'un produit de ces polynômes ne peut être décomposé en facteurs premiers que d’une seule manière, ou bien encore, que tout polynôme radical peut être décomposé en deux parties, dont l’une offre seulement des coefficients entiers, tandis que l’autre correspond à une factorielle plus petite que l'unité. J'ai attaqué ce dernier problème dans le $ IT de ce Mémoire, et j'en ai ramené la solution, dans le cas le plus général, à une question de maximum. J'ai depuis obtenu, pour résoudre le même problème, une nouvelle méthode, qui me parait offrir de grands avantages sur celle que j'ai développée dans l’avant-dernière séance. Cette nouvelle méthode ramène la solution, non plus à la recherche de la valeur maximum de la plus petite entre diverses fonctions données, mais, au contraire, à la recherche de Ja plus petite des valeurs maxima de ces fonctions considérées isolément, ou égalées entre elles deux à deux. L'analyse dont je me sers, et qui semble digne de l'attention des géomètres, offre cela de remarquable, que le module du polynôme radical donné se trouve éliminé du caleul, aussi bien que les modules des polynômes associés, que l’on déduit du premier en remplaçant une racine de l'unité par une autre. Les conditions auxquelles il s’agit de satisfaire ne renferment plus que les arguments de ces divers poly-

EXTRAIT N° 361. 277 nômes. D'ailleurs, ces conditions sont très simples et se réduisent à celles que je vais énoncer.

Soient z un nombre entier quelconque, 9 une racine primitive de l'équation binôme

(1) É \choneng | et (2) f(o) = x + 6p + yp? +... + np?!

un polynôme radical à coefficients entiers, formé avec les racines de cette équation. Soient encore

(3) PR RD: R— QG, nn!

les entiers inférieurs à n et premiers à x, et » le nombre de ces

entiers. Nommons P; Pa; Pb;

les arguments des polynômes

ftp), f(e*), f(e?), Enfin, prenons

et, en désignant par w l’un quelconque des termes de la progression

arithmétique (5) Mi UN 20. (nr, posons si ne — 6 — 46 | P—asin 2 ? sin 22 .., 2 2 (6) SE = — — ac P'= 23 cos À cos 2 ++)

les facteurs trigonométriques que renferme le second membre de cha-

cune des formules (6) étant en nombre égal à > c'est-à-dire en nombre

égal à celui des termes qui, dans la suite (3), sont inférieurs à sn.

PEAR TT

Ma nouvelle méthode réduit le problème qu’il s'agissait de résoudre à la recherche de la plus petite entre les valeurs numériques des produits P, P'et à cette proposition, que, pour des valeurs données quelconques des arguments p, ps, ..., la plus petite entre les valeurs numériques de P ou de P’ qui correspondent aux divers termes de la progression (5) ne surpasse pas l'unité.

Outre la méthode que je viens d'indiquer, j'ai encore obtenu divers théorèmes assez curieux, dont quelques-uns se trouvent déjà énoncés dans les Mémoires que j'ai présentés dernièrement à l’Académie. L’un de ces théorèmes, que M. Lamé parait avoir rencontré de son côté, détermine, pour le cas particulier où le nombre z est 3 ou 5, la forme générale des diviseurs de l’unité. Je prouve aussi très facilement que la différence entre la ni*®e puissance d’un polynôme radical à coeflicients entiers et la somme des coefficients de ce polynôme est toujours divisible par », lorsque x est un nombre premier impair. Il en résulte immédiatement que la différence entre les puissances Aime de deux polynômes associés est divisible par 2; et cette dernière proposition comprend elle-même, comme cas particulier, un théorème énoncé par M. Lamé, relativement aux polynômes qu’il appelle conjugués directs.

Voici la démonstration très simple du théorème qui se rapporte à la rime puissance d’un polynôme radical à coefficients entiers. Supposons toujours ce polynôme déterminé par la formule (2). Si on l'élève à la 7i°me puissance, et si l’on admet que x soit un nombre premier

impair, on aura évidemment (7) [f(p)"= a+ 62 yr+...+nt+ nd(s),

Y(o) étant un nouveau polynôme radical à coeflicients entiers. D'ailleurs, en vertu d’un théorème connu, si l'on pose

et Ga HOPPER", la différence Sn —S

EXTRAIT N° 362. . 279 sera divisible par 2. En d’autres termes, on aura (8) En = S + Al,

l'étant une quantité entière. Donc, en posant, pour abréger,

l+ Y(p)=w(p), on aura

(9) [Cp =s+rw(p),

&(e) étant un polynôme radical à coefficients entiers. L'équation (9) devant subsister quand on y remplace » par l’un quelconque des termes de la suite

2 E LPO HR D re) Pre

on en conclut que, si À et # représentent deux quelconques des nombres ; PR de von la différence

LEp#)Ie— CF(e*) 1" sera divisible par ». Ainsi la différence entre la nie puissance de deux polynômes radicaux associés est toujours divisible par z, et, par conséquent, elle est divisible par (1 — p}"-".

TnéoriE DES NOMBRES. — Mémoire sur de nouvelles formules relatives à 1a théorie des polynômes radicaux, et sur le dernier théorème de Fermat (suite ).