C. R., T. XXIV, p. 661 (19 avril
S IV. — Sur la plus petite des factorielles qui correspondent à un polynôme radical, dans lequel chaque coeficient peut étre augmenté ou diminué arbitrairement d’une ou de plusieurs unités.
La lettre 7 représentant un nombre entier quelconque, soit
Eh Dh us Jts0, R— 4, n—1
la suite des entiers inférieurs et premiers à ». Nommons » le nombre
de ces entiers,
, . An . .
étant ceux d’entre eux qui ne surpassent pas =: Soient d’ailleurs p une
racine positive de l’équation (1) MP A,
et F(p) un polynôme radical à coefficients réels, généralement représenté par une fonction entière de p, du degré nr — 1. Enfin, nommons f(p) le reste qu’on obtient, quand du polynôme radical F(2) on retranche un autre polynôme de même espèce, mais à coefficients entiers; et supposons ce dernier polynôme tellement choisi que la factorielle @ correspondante au reste f(o) soit la plus petite possible. © sera égal ou inférieur aux diverses factorielles qui pourront correspondre au polynôme F(e), quand on y fera croître ou décroître arbitrarement chaque coefficient d’une ou de plusieurs unités. Done, si, en désignant par # l’un quelconque des nombres entiers
Dysai M st
on nomme 9, ou 0;
ce que devient la factorielle 6, lorsque, dans le polynôme f(p), on fait eroitre ou décroitre de l’unité le coefficient de p“, on aura, non seule-
ment
mais encore
et, pour établir sur des bases solides la théorie des polynômes radicaux, il suffira, d’après ce qui a été dit dans les précédents para-
graphes, de prouver que les conditions (2) et (3), quand elles se vérifient quel que soit #, entrainent la suivante :
Soient maintenant r, r,, rs, .. les modules, etp, p,, ps, ... les arguments des polynômes radicaux
f(e); f(p*), f(p?), Les polynômes f(p"—?), f(p5) f(p2} lat à
dont les modules seront éncore r, r,, rs, ..., auront pour arguments les angles — p, —p,, — ps, ...; et par suite on aura, non seulement
(5) EX on AUS RS AL mais aussi
(6) @;—=[1+2rcos(p — km) +r?][1+2r,cos(pa—akw)+ri]..., (9,—[1—2rcos(p — kw) +r?][1—2r,cos(p,— ak) +r;]..., la valeur de & étant
mn
Cela posé, concevons que les coefficients des diverses puissances de », étant d’abord nuls dans le polynôme f(o), viennent à varier, et que, par suite, les valeurs des modules
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varient elles-mêmes, par degrés insensibles, à partir de zéro. La valeur de @ variera en même temps que les modules r,r,, r;, ..., et ne pourra, tant que la condition (2) ou (3) sera remplie, dépasser une certaine limite supérieure. Nommons A, ou A, cette limite, qui, pour certaines valeurs de #, pourra devenir infinie. Il est clair que les formules (2) et (3), quand elles se vérifieront pour toutes les valeurs entières de #, entraineront la formule (4), si pour une ou plusieurs des valeurs de 4
on à, ou (8) Ax< I ou (9) NEA à | OEuvres de C. — S. 1, t. X. : 36
U em vesulte que, dans là théong des polynèmes radicaux, la question fondamentale sera resolue, Si l'on parvient à établie, ax moins pour RS en DK D ue pons-nous mainrtenurt de ce dernier problème.
D'abord on recomnaitre aisément que, St À, n'est pas infini, 1] sera dr maman commun de: @ et de @.. Alurs les valeurs de », 2x Me «es correspondantes à là valeur 4, de @ satisferont à l'équation (xœ) &—-e— 0.
et, de plus, vertiieront les formules (ur) dè=e æe<e pour toutes les valeurs de dr. dr. dm. ... qui remplirent La conditon
{ &æ) de, — dd.
Par suite, lorsque @ attemdra LE valeur maximum A, on aura
(ræ) RE =
Soit maintenant 4 à valeur commune des rapports que renferme l'équation (25). On aura, ex égard à Ex formule (re).
Et Mn OS g— Em) __ rÈ+r,ces(p,— «æËxœ)}) 2 L+2reusép—Em)+e | 2 + are CUS ( De — Ghm) + re ET tr
puis, en posant, pour abréger. #— & — 4, om türeca de l'équaiions (16)
E— 7 - E— ri he.
+27 CUS — mm) +7 L+ 27,08, — am +r
En vertu de: Le foemule (24) où (25). les modules 7. 7. 7. et, par suite, là différence @, — 6 deviendront fonctions de la seule incoanue +
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