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et supposons le nombre entier x% décomposé d’une manière quelconque en facteurs radicaux, en sorte qu’on ait
o(2), 7(e), Ÿ(e), ..., me) étant des polynômes radicaux à coefficlients entiers. Si parmi ces polynômes plusieurs se réduisaient à des diviseurs de l’unité, c’est-à-dire à des polynômes auxquels correspondrait la factorielle r, leur produit serait encore un diviseur de l'unité; et, par conséquent, on pourra toujours admettre que; parmi les divers facteurs compris dans le second membre de la formule, un seul, 5(2), est diviseur de l'unité. On pourrait même, si l’on voulait, se débarrasser entièrement de ce facteur, en le réunissant à l’un des autres par voie de multiplication.
Soient maintenant les nombres entiers qui représentent les facteurs premiers et distincts
de », en sorte qu’on ait (3) {Rae a% bé cY,
les exposants «&, 6, y, ... étant eux-mêmes entiers; et posons
pi (Les 1) (om 1) (ss 1) de (on 1) PE (ee 1) (ae) (2e 1) La (as 1) ;
Les racines primitives de l'équation (1) pourront être représentées
ns = sr
par les divers termes de la suite (5) ; p, F, p?, pe pe “te rm et seront précisément les 2 racines de l'équation irréductible
(6) Fe Pa
Cela posé, concevons que la lettre caractéristique N, placée devant un polynôme radical à coefficients entiers, indique le nombre entier qui : représente la factorielle correspondante à ce même polynôme, en sorte qu’on ait généralement
(7) No(p)=oœ(p) p(pt)o(pt)...o(p-t)p(pT+)p(p"t).
Comme l'équation (2) continuera de subsister, quand on y remplacera la racine primitive 9 par l’un quelconque des #7 termes de la série (b), on tirera de cette équation
(8) M"—No(p) Nyx(p) NY(o)...Næ(p).
De plus, &(9) étant le seul diviseur de l’unité compris dans le second membre de la formule (2), on aura ,
(9) Næ(p)=1,
tandis que les factorielles No(p);, Nx(p) NY(p),
représenteront des nombres entiers distincts de l’unité, dont le produit, en vertu de la formule (8), devra être égal à x”. Si d’ailleurs on nomme
Fr les entiers qui représentent des facteurs premiers et distincts de x, en sorte qu’on ait
(10) I — pt...
la formule (8) donnera définitivement (11) pique... —No(o) Ny(o) Nb(o)...;
et comme chacune des factorielles comprises dans le second membre de cette dernière équation sera un nombre entier distinct de l'unité, il est clair que le nombre de ces factorielles, ou, ce qui revient au même, le nombre des facteurs de % qui ne divisent pas l'unité ne
pourra surpasser le nombre total des facteurs du produit p”q1"..., c’est-à-dire le nombre (Â+p+...)m.
En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :
Taéorème |. — Supposons un nombre entier quelconque X décompose d'une manière quelconque en facteurs radicaux. Ceux de ces facteurs qui ne seront pas diviseurs de l'unité seront en nombre inférieur ou tout au plus égal au nombre total des facteurs entiers et premiers de X", ou, ce qui revient au même, au produit du nombre total des facteurs premiers
de X par le nombre m des entiers inférieurs et premiers à n.
Corollaire. — 1 suit évidemment du théorème I que, si l'on parvient à décomposer un nombre premier en facteurs radicaux, puis ces facteurs en d’autres de même forme, et ainsi de suite, on arrivera bientôt à des facteurs radicaux premiers, un /acteur premier étant celui qui ne peut se décomposer en deux autres dont aucun ne soit diviseur de l’unité.
Revenons maintenant à l'équation (2). En vertu d’un théorème fondamental énoncé dans la séance du 15 mars (vor le théorème HI de la page 233), cette équation entraînera la suivante
f(æ) étant une fonction entière de æ à coefficients entiers. D'autre part, si les nombres » et x sont tels qu’on puisse satisfaire à l’équivalence
(13) x" —1=0 (mod. % ),
toute racine primitive r de cette équivalence vérifiera certainement la formule
(14) À = 0 (mod. XX),
ainsi qu’on peut le conclure de l'équation (4). Donc alors la formule (12) donnera
(1) p(r)y(r)Ÿ(r)...m(r)=0o (mod. XX).
EXTRAIT N° 367. 303 Mais, d’autre part, l'équation (7), que l’on peut écrire comme il suit No(p)=o(p)g(2)...@(p"-4)p(p"""), entraînera la formule
(16) No(p)—p(x)o(xt)... px) oe(xrt) + Æ f(x),
{(x) étant encore une fonction entière de æ à coefficients entiers. Donc, en remplaçant x par r, et ayant égard à l’équivalence (14), on trouvera
(17) No(p)=g(r)o(rt)...e(ret) pret);
puis, en substituant &(£2) à &(p), et ayant égard à l'équation (9), on obtiendra la formule
(18) 1=Æ o(r)æ(rt)... mr“) m(r"-1) (mod. X),
en vertu de laquelle les nombres X et &(r) seront nécessairement premiers entre eux. Done la formule (15) donnera simplement
(19) o(r)x(r)Ÿ(r)...=0 (mod. XX), et l’on pourra énoncer la proposition suivante :
Taéorème 1. — Supposons le nombre X décompose en facteurs radi-
caux formes avec la racine primitive à de l'équation PES k,
et la décomposition effectuée, comme on peut toujours l’admettre, de marière que parmi ces facteurs radicaux, l’un, au plus, divise l'unité. Si
l’on nomme
les facteurs de R qu ne divisent pas l'unité; st d'ailleurs les nombres n, x sont tels, que l’on puisse satisfaire par des valeurs entières de x à
l’équivalence a = 1 (mod. 1),
toute racine primitive r de cette équivalence rendra le produit
o(r)x(r)d(r)... divisible par R.
Corollaire. — Si x se réduit à un nombre premier p, la formule (19) entrainera l’une des suivantes :
(20) o(r)=0, x(r)=0, V(r)=0, Rte (mod. p).
Les propositions et formules précédentes fournissent immédiatement, quand » est réduit à un nombre premier impair, plusieurs des résultats auxquels est parvenu M. Kummer.
Lorsqu'en supposant » premier et impair, on pose, dans la formule (16), |
la fonction
se réduit précisément au nombre », et, par suite, la formule (16) donne
(21) No(p)=[o(:)]"-! (mod. »).
Cette dernière équivalence, étant combinée avec un théorème connu
de Fermat, entraîne, ainsi que M. Kummer l’a remarqué, la proposition suivante :
Tnéorème TT. — Lorsque n est un nombre premier impair, la factorielle correspondante au polynôme radical o(») est équivalente à l'unité, suivant le module n, excepté dans le cas où @(1) est divisible par n, et,
dans ce dernier cas, elle devient divisible elle-même par n.
Observons encore que, si 2 est un nombre premier et impair, l'équation (7) pourra être présentée, non seulement sous la forme
(22) No(p)=o@(p)o(p?)...p(p"-1), mais encore sous la forme
(23) Np(p)=oœ(p)e(ps)p(p").:.0(p"*),
s étant une racine primitive de l’équivalence (24) æ"-l=1 (mod. n ).
Soient, dans cette même hypothèse, g, À deux entiers liés entre eux par l’équation
n—1= gh,
et posons
(25) D(p)=g(p) op") pp")... pp").
L'équation (23) donnera |
(26) No(o)=D(p)D(ps)...D(p"").
Ajoutons que, si les deux premiers des facteurs renfermés dans le second membre de la formule (25) deviennent égaux, tous ces facteurs seront égaux les uns aux autres, et que, par suite, 9(p) sera une fonction symétrique de
Alors aussi les formules (25), (26) donneront
(28) No(p)=[o(p)g(ps)...o(p"")I6,
et le produit ; o(p)p(p*)...p(p"")
sera réduit à un nombre entier. Il y a plus : on reconnaitra facilement
que si, dans la suite p(p} pCp?}, -.., p(p#),
plusieurs termes deviennent égaux, ces termes sont de la forme de ceux que comprend le second membre de la formule (25), et l'on en conclura immédiatement, avec M. Kummer, que la factorielle N 5(b) prendra la forme indiquée par l'équation (28). Supposons maintenant que p soit un nombre premier de la forme OEuvres de C.— S.1,t.X. | 39
næ + 1. Soit encore Ü une racine primitive de l'équation (29) =,
tune racine primitive de l’équivalence
(30) aPl=i (mod.p);
et, en désignant par #, /, ... des nombres entiers quelconques, prenons
(31) 0, — 0 + péOt+ pkOP +... + pink BE,
On aura (voir les Mémoires insérés dans le Bulletin de M. de Férussac, de 1829, et dans le Tome XVII des Mémoires de l’Académie des
Sciences ), (32) 0% 0, — Rx,1 0er Rx, étant un polynôme radical à coefficients entiers; et, si l’on pose
Rij= f(p), on aura encore
pourvu que les entiers #, let Æ + [ soient premiers à ». Or, en vertu de la formule (33), tout nombre premier de la forme 2x + 1 sera décomposable en facteurs radicaux. Mais on doit observer que, dans la formule (33), f(b), f(o7') ne seront pas généralement des facteurs premiers de p. Dans tous les cas, si l’on décompose chaque facteur non premier de p en facteurs nouveaux, et si l’on pousse la décomposition aussi loin que possible, on finira par obtenir des facteurs premiers de p. Soit o(9) un de ces facteurs premiers, en sorte que l’on ait
(34) p—=(Pp)x(p),
4. (e) étant un nouveau polynôme à coefficients entiers. L’équation (34) continuera de subsister, quand on y remplacera p par l’un quelconque
des termes de la suite Di Pa Ds PT
Donc p aura pour facteur premier l’un quelconque des termes de la suite pe), Cp), -.., (pet);
et, comme on tirera de la formule (34 ), (35) P'=Ne(p)}Nx(p),
No(p) ne pourra être qu’un diviseur de p“-', c’est-à-dire p ou une puissance de p. En désignant par p” cette puissance, on aura
(36) Pr=Nœ(p)p(p?)...o(p"-1).
Au reste, si le nombre 2 est tel, que les théorèmes relatifs à la décomposition des nombres entiers en facteurs premiers subsistent, quand on substitue des facteurs entiers aux facteurs radicaux, alors, en raisonnant comme dans un précédent Mémoire (vor la séance du 5 avril, page 272), on prouvera : 1° que les facteurs
o(p), o(p?), dass p(p#-1)
seront premiers entre eux ; 2° que leur produit ou la factorielle N o() divisera le nombre p dont elle ne pourra différer. Donc alors le nombre À devra se réduire à l’unité dans la formule (36) qui coineidera elle-même avec la formule (18) de la page 272, en sorte qu’on trouvera
(37) P=No(p)}=o(p)o(p?)...œ(p"""t).
Alors aussi (voir la séance du 22 mars dernier, page 252), on aura nécessairement
(38) &p—= A?—(—1) ? BE,
4, B étant deux nombres entiers. Mais il n’est pas toujours possible
de choisir 4, 8 de manière à vérifier cette dernière équation. Si, pour fixer les idées, on prenait » — 23, p — 47, l'équation (38) donnerait
et ne pourrait se vérifier que pour des valeurs de Z? positives et inférieures à
par conséquent pour des valeurs de 2 positives et inférieures à 3. Or, comme en attribuant successivement à Z les valeurs r et 2, on obtient pour valeurs correspondantes de la différence
les deux nombres 165, 96, dont aucun n’est un carré parfait, nous devons conclure, avec M. Kummer, que les théorèmes relatifs à la décomposition des nombres entiers en facteurs premiers ne s'appliquent pas aux polynômes radicaux, pour des valeurs quelconques de », et cessent, par exemple, d’être applicables, quand on suppose r — 23.
Il reste à examiner ce que devient la formule (36) quand elle ne se réduit pas à la formule (37), et à montrer le parti qu’on peut tirer alors des principes établis dans la précédente séance. C’est ce que nous verrons dans un autre article.
THÉORIE DES NOMBRES. — Mémoire sur les facteurs modulaires
des fonctions entières d'une ou de plusieurs variables.
