C. R.,T. XXIV, p. 1117 (28 juin

Les formules que l’on désigne en Algèbre sous le nom d'équations se trouvent remplacées, dans la théorie des nombres, par ce qu’on a nommé des équivalences où des congruences relatives à un module donné. On sait que le nombre des racines réelles d’une équation ne peut surpasser son degré, et l’on peut en dire autant du nombre des racines réelles d’une équivalence, lorsque le module est un nombre premier. On sait encore que le premier membre d’une équation algé-

brique à coefficients réels est toujours décomposable en facteurs réels du premier ou du second degré, dans le cas même où cette équation n'offre pas de racines réelles, et que cette décomposition, quand le nombre des facteurs est le plus grand possible, ne peut s’effectuer que d’une seule manière. Il importait de voir s’il existait des propositions analogues pour les premiers membres des équivalences algébriques, dont, jusqu’à ce jour, on a cessé généralement de s'occuper, quand leurs racines réelles venaient à disparaitre. Telle est la question que j'ai voulu approfondir, et que je suis effectivement parvenu. à résoudre, comme on le verra dans le présent Mémoire. Je me bornerai, dans cet article, à indiquer sommairement les principaux résultats de mes recherches, le Mémoire devant être prochainement publié dans mes Exercices d'Analyse et de Physique mathématique.

Soient æ, y, 3, ... diverses variables et 2 un module entier quel- conque. Deux fonctions entières de æ, y, x, ..…, à coefficients entiers, seront dites équivalentes entre elles, suivant le module n, lorsque, pour des valeurs entières quelconques de æ, y, 3, ..., la différence de ces deux fonctions sera divisible par 2. Lorsqu'une fonction sera équivalente au produit de plusieurs autres, chacune de ces dernières sera ce que j'appellerai un diviseur ou facteur modulaire de la première. Un facteur modulaire sera irréductible lorsqu'il ne pourra être décomposé en facteurs du même genre. Considérons en particulier une fonction f(x) de la seule variable >, cette fonction étant toujours entière et à coefficients entiers. Si le module » est un nombre premier, alors, d’après un théorème connu de Fermat, on aura pour une valeur entière quelconque de +,

(1) TU= x (mod. »); ef, par suite, dans une équivalence de la forme (2) fl) =0;

le degré du premier membre pourra toujours être abaissé au-dessous de ». Cet abaissement étant effectué, le nombre des racines réelles de l'équivalence (2) ne pourra surpasser le degré de cette équivalence.

Done l’équivalence ne pourra subsister pour une valeur entière quelconque de +, et une fonction f(æ), d’un degré inférieur à », ne pourra être équivalente à zéro, qu'autant que chacun des coefficients compris dans f(æ) sera équivalent à zéro, c’est-à-dire divisible par z.

Si le module z cesse d’être un nombre premier, en sorte qu'on ait