REPOS

p, g, .….. désignant les facteurs premiers de 2; si d’ailleurs on nomme

N l'indicateur maximum correspondant au module x, tout nombre entier æ premier à = vérifiera la formule

(4) zVss 1 (mod. »).

Par suite, si l’on nomme w le plus grand des exposants À, &, ..., un nombre entier quelconque x vérifiera la formule

(5) 7 (mod. n»).

Donc alors, dans l’équivalence (2), le degré de f(x) pourra toujours être abaissé au-dessous de la limite N + w, qui, elle-même, est inférieure au module 2.

Revenons maintenant au cas où le module x est un nombre premier, le degré de f(æ) étant, comme on peut le supposer, inférieur à ». Alors, en s’aidant de quelques formules établies dans le premier Volume des Exercices de Mathématiques, page 160 (‘}, on arrive aux

propositions suivantes :

Tuéorème [. — Le module n étant un nombre premier, une fonction de f(x) à coefficients entiers ne peut être décomposce que d’une seule manière en facteurs modulaires irréductibles, dans chacun desquels le coefficient

de la plus haute puissance de x peut étre supposé réduit à l'unité.

Tuéorème Il. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, concevons que la fonction f(x) soit équivalente au produit de

plusieurs facteurs modulaires o(æx), {(æx), L(æx), ..., en sorte qu'on ait

(6) f(æ)= o(x)x(x) L(x)... (mod.n).

(1) Œuvres de Cauchy, S. I, T. VI, p. 202.

Si l’on désigne par (x) un facteur modulaire irréductible, ce dernier

ne pourra diviser f(x) sans diviser l’un des facteurs o(x), y(x),

TuéorÈèME III. — Les mémes choses etant posées que dans les théorèmes

précédents, nommons %, 6, Ÿ»

les racines réelles ou imaginaires de l'équation algébrique (7) (x) —0,

qu on obtient en égalant à zéro le facteur modulaire et irréductible, represente par le facteur 5(x). La fonction f(x) sera ou ne sera pas divisible

par 5(x), suivant que la condition (8) f(æ)f(8)f(y)...=0 (mod.n) sera ou ne sera pas salisfaile.

THÉORÈME IV. — Tout commun diviseur modulaire de deux fonctions entières f(x), F(x) divise nécessairement leur plus grand commun divi-

SeEur.

Pour montrer une application de ces principes, supposons 2 — 19, et

Puisque, en prenant pour + un nombre entier quelconque, on aura

æ— x =0o (mod. p),

et que le plus grand commun diviseur modulaire des deux binômes ti — x, xS—1

sera le plus grand commun diviseur algébrique æ — 1, l'équivalence

æ—1=0 n'aura qu’une seule racine réelle, savoir, l'unité; et la fonction

di—i=(æ—i)(t + a+ a+ x +1)

n'aura qu’un seul diviseur linéaire du premier degré, savoir æ — 1. Donc, en vertu du théorème I, le facteur modulaire