C.R., T. XXIV, p. 1120 (28 juin

Préliminaires.

Les géomètres, surtout ceux qui s’efforcent de contribuer aux progrès des Sciences mathématiques, ont été quelquefois accusés de parler une langue .qui n’a pas toujours l'avantage de pouvoir être facilement comprise, et de fonder des théories sur des principes qui manquent de clarté. Si une théorie pouvait encourir ce reproche, c'était assurément la théorie des imaginaires, telle qu’elle était géné- ‘ralement enseignée dans les Traités d’Algèbre. C’est pour ce motif qu’elle avait spécialement fixé mon attention dans l’Ouvrage que j'ai publié, en 1821, sous le titre d'Analyse algébrique, et qui avait précisément pour but de donner aux méthodes toute la rigueur que l’on exige en Géométrie, de manière à ne jamais recourir aux raisons tirées de la généralité de l’Algèbre. Pour remédier à l'inconvénient signalé,

j'avais considéré les équations imaginaires comme des formules sym-

boliques, c’est-à-dire comme des formules qui, prises à la lettre et interprétées d’après les conventions généralement établies, sont inexactes ou n’ont pas de sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts en modifiant et altérant, selon des règles fixes, ou ces formules, ou les symboles qu’elles renferment. Cela posé, il n'y avait plus nulle nécessité de se mettre l'esprit à la torture pour chercher à découvrir ce que pouvait représenter le signe symbolique ÿ— 1, auquel les géomètres allemands substituent la lettre r. Ce signe ou cette lettre était, si je puis ainsi m’exprimer, un outil, un instrument de calcul dont l'introduction dans les formules permettait d'arriver plus rapidement à la solution très réelle de questions que lon avait posées. Mais il est évident que la théorie des imaginaires deviendrait beaucoup plus claire encore et beaucoup plus facile à saisir, qu’elle pourrait être mise à la portée de toutes les intelligences, si l’on parvenait à réduire les expressions imaginaires, et la lettre : elle-même, à n'être plus que des quantités réelles, Quoiqu'une telle réduction parût invraisemblable et même impossible au premier abord, j'ai néanmoins essayé de résoudre ce singulier problème, et, après quelques tentatives, j'ai été assez heureux pour réussir. Le principe sur lequel je m’appuie semble d'autant plus digne d’attention qu'il peut être appliqué même à la théorie des nombres, dans laquelle il conduit à des résultats qui méritent d’être remarqués. Entrons maintenant dans quelques détails.

S LE — Sur les équations symboliques et sur leurs racines.

Application à la théorie des imaginaires.

Les deux lettres /, m» désignant deux nombres entiers, les notations admises par les géomètres offrent plusieurs moyens d’exprimer que ces deux nombres, divisés par un troisième », fournissent le même reste, ou, en d’autres termes, que / est équiwalent à m suivant le module n. Ainsi, en particulier, on peut écrire, avec M. Gauss,

(1) l= m (mod. 7). Œuvres de C: —S.I,t.xX., 40

Pareillement, étant donnés deux polynômes 4(x), y(æx) dont chacun soit une fonction entière de la variable æ, si l’on veut exprimer que ces deux polynômes fournissent le même reste, quand on les divise -algébriquement par un troisième (x), ou, en d’autres termes, que 2(æ) est équivalent à y(æ) suivant le module 5(x), on pourra écrire, comme on l’a déjà fait (vorr le Mémoire de M. Kummer inséré dans le Journal de M. Crelle, XXX° Volume, 2° Cahier),

(2) p(xr)=Yy(x) [mod.w(x)].

Mais il est clair que, à l'équivalence (2), on pourrait substituer l’équa-

tion

(3) Ro(z)=R}z(x),

si l’on désignait à l’aide de la lettre caractéristique R, placée devant une fonction entière de x, le reste qu’on obtient quand on divise cette fonction par (x). Alérs aussi, en nommant f(x) une fonction entière divisible exactement par 5(x), on aurait

(4) : Rf(x) — 0.

Ce n’est pas tout. Au lieu de placer une lettre caractéristique R devant une fonction entière (x), pour indiquer le reste qu’on obtient quand on divise cette fonction par 5(x), on pourrait convenir que l’on se servira, pour cette indication, d’une lettre symbolique substituée à la variable +, dans la fonction elle-même. Soit z cette lettre symbolique. La seule présence de la lettre ?, substituée à æ dans une foncion entière 9(æ), indiquera que, avant de poser dans cette fonction æ — 1, on doit la réduire au reste de sa division par 5(x), et alors

la formule (3) pourra s’écrire comme il suit :

tandis que la formule (4), qui suppose la fonction f(æ) divisible par

(x), donnera

EXTRAIT N° 369. 315 Comme la plus simple des fonctions divisibles par le diviseur 5(x) est ce diviseur lui-même, la plus simple des équations symboliques de la forme (6) sera

S1 la fonction f(æ) n’a pas &(x) pour diviseur, alors, en nommant H(æ) le quotient, et (x) le reste qu’on obtient en divisant f(x) par (x), on aura

(8) f(x) = (z)w(x) + d(x); par conséquent

(9) f(E) = IE) m(i) + d(6), et, eu égard à la formule (3),

Mais il importe d'observer que, si l'équation (9) se réduit à la formule symbolique (10), cela tient uniquement à la convention adoptée, suivant laquelle on doit, dans le second membre de l'équation (9), effacer le terme qui renferme &(x), dès que l’on substitue # à æ. Si, après cette substitution, &(:) se réduit à zéro, c’est en vertu de la convention dont il s’agit, z pouvant d’ailleurs être numériquement égal à une quantité réelle quelconque, qui, prise pour valeur de x, pourra fournir pour 5(+) une valeur très différente de zéro.

Pour nous rapprocher, autant que possible, du langage algébrique généralement admis dans la théorie des imaginaires, nous dirons que test une racine symbolique de l'équation caractéristique

(11) Wir}: 0, et même de l’équation (12) f(æ) —0o

quand f(x) sera divisible par &(æ) : mais au mot racine symbolique nous n’attacherons pas l’idée d’une valeur de + pour laquelle 5(x) ou

f(æ) devienne numériquement égal à zéro; et, tandis que les racines réelles d’une équation algébrique en x, par exemple de l'équation (12), devront annuler le premier membre f(x), une racine symbolique # de la même équation devra faire évanouir, non pas f(æ), mais le reste de la division de f(æ) par un certain diviseur &(æ), et même faire évanouir ce reste, quel que soit æ.

Lorsque, &(æ) étant du degré 72 par rapport à la variable æ, f(x) représente une fonction entière quelconque de +, le reste 4(x), qu’on obtient en divisant f(x) par &(x), est généralement de la forme

(13) V(T)=a+mr+ ar +...+ ax" i,

Aos is ++. dy, désignant des quantités constantes; et pour que ce

reste s’évanouisse, quel que soit +,.il faut que l’on ait

(14) dE 0 4,20, == 0, AE 2"

Donc alors la formule (6), ou

f(t) =, , ’ . « que l’on peut réduire à (19) Y(i)—0o ou, ce qui revient au même, à (16) A+ l+ Gal +...+ Ayo,

entraine les conditions (14). Donc l'équation symbolique (6) ou (16) équivaut, en réalité, à ces conditions, exprimées par x équations distinctes. On arriverait à la même conclusion, en observant que, dans l'équation (16), la lettre symbolique à représente une quantité réelle indéterminée, à laquelle on peut attribuer telle valeur que l’on voudra. Or, en posant : — 0, on tire de la formule (16)

et comme, en vertu de cette dernière condition, l'équation (16) peut

être réduite à ti ŒœlHk... Fami = 0,

EXTRAIT N° 369. 317 on aura éncore, c restant arbitraire,

A+ dl +... + Apt? = O0.

Si maintenant on pose de nouveau # — 0, on obtiendra la condition Mo!

et, en continuant de même, on finira par déduire de l’équation (16) chacune des conditions (14). ;

Une théorie nouvelle et rigoureuse des formules et des équations imaginaires se déduit immédiatement des principes généraux que nous venons d'exposer. Pour obtenir cette nouvelle théorie, il suffit de réduire le diviseur 5(æ) au facteur binôme æ?+1, et, par con- | séquent, de prendre pour point de départ cette convention fondamentale, que la lettre symbolique 1, substituée à la lettre x dans une fonction entière f(x), indiquera la valeur que reçoit, non pas cette

fonction f(æ), mais le reste de la division algébrique de f(x) par

æ? +1, quand on attribue à æ la valeur particulière #. Cette convention étant adoptée, on aura, en supposant f(æ) divisible par æ?+ 1,

Alors aussi la quantité indéterminée # sera une racine symbolique de l'équation

(18) CRT 0;

qui sera réduite à