SET

si l’on suppose f(æ) = x? + 1. Il est vrai que la formule (18) pourrait ne pas avoir de racines réelles, et que, effectivement, elle n’en à point quand elle se réduit à l'équation (19), attendu que, pour toute valeur réelle de +, le premier membre de cette équation acquiert une valeur très différente de zéro, et supérieure à l'unité. Mais, suivant la remarque déjà faite, dire que c est racine symbolique d’une équation caractéristique en x du degré », ce n’est pas dire que cette équation est satisfaite quand on prend # pour valeur de æ, c’est-à-dire seulement

que la substitution de # à æ dans une fonction entière f(x) de la variable æ indique le reste qu’on obtient quand, après avoir décomposé cette fonction en deux parties, dont l’une soit du degré 7 — 1, et dont l’autre ait pour facteur le premier membre de l'équation caractéristique, on a soin, avant de poser æ — à, d’effacer la seconde partie, comme si le premier membre de l'équation caractéristique devenait nul pour une valeur de æ égale à &. Dans le cas particulier qui nous occupe maintenant, l'équation caractéristique se réduit à la formule (19), et la formule symbolique

(20) Ê+iI—O

exprime simplement que zéro est le reste de la division de +? +1 par le premier membre æ°+1 de l'équation caractéristique ou, ce qui revient au même, le reste de la division de 4°+ 1 par &?+ 1. Alors aussi, pour exprimer que deux fonctions entières o(æ), (x), étant

divisées par &° + 1, fournissent le même reste, on écrira (21) pi) = x (0).

Supposons, pour fixer:les idées, que 9(x), divisé par æ° + 1, donne pour reste a + bæ, et que y(æ), divisé par æ° +1, donne pour reste c + dæx, les quatre lettres a, b, c, d désignant des quantités constantes. La formule (21) pourra être réduite à

(22) a+ bi=c+ di;

et, comme elle devra se vérifier, quel que soit #, elle entrainera les deux équations

(23) ae, FE,

dont on obtiendra la première en posant : = o.

La formule (21) est ce qu’on a nommé une équation imaginaire. La lettre symbolique à, renfermée dans cette équation, doit être considérée, d’après la théorie nouvelle, comme une quantité réelle, mais indéterminée, à laquelle on pourra donner telle valeur que lon voudra, et même une valeur nulle, quand on posera æ = à dans les

fonctions o(æ) et y(æ), après avoir réduit chacune de ces fonctions au reste de sa division par æ° + 1. Ajoutons que toute équation imaginaire pouvant être ramenée à la forme (22) sera toujours décomposable, comme l'équation (22), en deux équations réelles, dont aucune ne renfermera plus la lettre z.

Comme, en vertu de la formule (20), on aura