DE

et, par suite, en nommant >? un nombre entier quelconque,

L' m ons d'n+i — ë,

Lrn+? = L? PAUL +3 — PE) — — LR

il en résulte que, si la fonction f(x) est déterminée par une équation

de la forme f(x) = a+ rx + ax + as + art +...,

on aura f({)= a — dot a —...+(di— a3+...)t

Cela posé, il est facile de voir ce que deviendront les équations algébriques dans lesquelles entre une variable x, quand on les transformera en équations symboliques, en substituant à la variable x la racine symbolique c de l'équation imaginaire 1 0:

Ainsi, en particulier, les équations algébriques

(a+ bæ)(c+ dx) = ac+ bdx?+ (ad + bc)x,

(a— bæx)(c—dx) = ac+bdx?— (ad + bc)x, desquelles on tire

(a— bx?)(c?— dx?) = (ac + bdx?}— (ad + bc)*x*,

fourniront, quand on y remplacera æ par #, les équations imaginaires

{ (a+ bi)(c-+ di) — ac — bd + (ad + be)i, (a— bi)(c—di)=ac—bd—(ad+ bc)t

(25) (a+ Bb?) (c2+ &) = (ac — bd) + (ad + bc}.

Si, dans la dernière, on réduit a, b, ce, d à des nombres entiers, on obtiendra immédiatement le théorème connu, suivant lequel deux nombres entiers, dont chacun est la somme de deux carrés, donnent encore pour produit une somme de deux carrés. De plus, si dans la première des équations (24) on pose

a = COSa, b—=sinx, CES O0E6, d =siné, on obtiendra la formule connue (26) (cosxæ +isinæ)(cos8 +isin8) = cos(a +6) +isin(æa+6),

de laquelle on passera immédiatement au théorème de Moivre, compris dans l'équation

(27) (cosaæ +isinæ)*=cosna+isinna.

D'ailleurs, quand on voudra décomposer une équation imaginaire, par exemple l’une quelconque des formules (24), (26), (27), en deux équations réelles, on ne devra pas oublier de réduire d’abord chaque membre à la forme linéaire a + bi. Sous cette condition, la formule (27) fournit immédiatement les valeurs connues de cosn« et de sinza exprimées en fonctions entières de cosa et de sin«.

NII. — Application des principes ci-dessus exposés à la théorie des nombres.

Les principes exposés dans le $ I, après avoir fourni le moyen d’établir une théorie claire et précise des équations imaginaires, peuvent | encore être appliqués avec avantage à la théorie des équivalences. Seulement, dans cette théorie, ce que nous avons nommé l'équation caractéristique en æ devient une équation ou une équivalence algébrique à coefficients entiers; et une racine symbolique 1 de cette formule caractéristique est une indéterminée à laquelle on peut attribuer définitivement, non plus une valeur réelle quelconque, mais une valeur entière arbitrairement choisie. Ajoutons que, s’il s’agit d'équivalences relatives à un module premier p, le coefficient de la

plus haute puissance de + dans la formule caractéristique pourra toujours être supposé réduit à l'unité.

Je développerai, dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathematiques, la théorie des racines symboliques des équivalences. Je me bornerai, pour l'instant, à énoncer quelques-unes des propositions remarquables auxquelles mes recherches m'ont conduit.

Tuéorème 1. — Le module p étant un nombre premier, nommons 5(x) un facteur modulaire irréductible, et ï une racine symbolique de l’équivalence (1) m(æx)=0 (mod. p).

Soient d’ailleurs o(x), x(x), ÿ(x),

des fonctions entières de x à coefficients entiers. Si la formule (2) p()x(E)#(E):..æ0 (mod.p)

se vérifie, elle entrainera l'une des suivantes :

(3) o(1)=0, X(2)=0, W(i)= 0, 4 (mod. p).

Tuéorème Il. — Le module p étant toujours un nombre premier, 5(x) : étant un facteur modulaire irréductible, et à une racine symbolique de l’équivalence (1), nommons f(x, t) une fonction entière de x et de 1, qui n'offre que des coefficients entiers, et qui soit du degré n par rapport à x, n pouvant être ur nombre entier quelconque inférieur à p. Soient d’ail-

leurs

(4) HU Me Un es ui

n fonctions entières de 1, dont chacune, prise pour valeur de x, vérifie la formule

(5) f(x, t)=0 (mod.p}),

aucune fonction entière de i ne pourra remplir cette méme condition sans

devenir équivalente à l’un des termes de la suite (4). OEuvres de C. — S.1,t.*X. 4x

Taéorème IT. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, si l’on peut décomposer la fonction f(æ, ti) en facteurs modu-

laires symboliques de même forme qu’elle, en sorte qu'on ait (6) f(x, i)= (x, té) x (2, à) (x, t)... (mod. p),

chacun de ces facteurs sera équivalent au produit de plusieurs des facteurs

linéaires

(7) Æ — Lo æ—tb, CRE T — lt

multipliés par ur nombre entier.

Ce qui semble mériter une attention particulière, ce sont les applications que l’on peut faire des théorèmes ici énoncés aux équivalences binômes, c’est-à-dire aux équivalences-de la forme

(8) æ'—1=0 (mod. p), lorsque p — 1 n’est pas divisible par x. Considérons spécialement le cas où le facteur irréductible &(æ), étant un diviseur modulaire de

æ"— 1, ne divise jamais +” — 1, quand on prend pour » un entier inférieur à 2. Alors à sera ce que j'appelle une racine symbolique

primüive de l’équivalence (8), et l’on déduira des théorèmes déjà

énoncés la proposition suivante :

TuéorÈue IV. — Le module p étant un nombre premier, et run nombre entier qui ne divise pas p — 1, nommons i une racine symbolique primitive de l’équivalence (8). Cette équivalence aura pour racines les divers

termes de la suite PA CU er

en sorte qu'on aura at— = (x—1)(æ—i)...(x — int), On peut aussi établir la proposition suivante :

Tuéorëme V. — Les mêmes choses élant posées que dans le theorème IV,

nommons s une racine primitive de l’équivalence

(9) æ-1=1 (mod. n),

el g, h deux nombres entiers qu vérifient la condition

n—1—=gh.

Si l’on pose ?

(10) Le (a 6) Co it), Ce — rt)

X, sera un facteur modulaire, non symbolique, c'est-à-dire indépendant

de 1, quand la condition (11) PE=1I (mod. n)

sera vérifiée ; et alors tout diviseur modulaire, non symbolique, de x" — sera de la forme X4.

Exemple. — Si, pour fixer les idées, on suppose æ—5, p — 19, 1 sera une racine primitive symbolique de la formule

g—1=0 (mod. 19), et le binôme æÿ— 1 aura pour facteurs modulaires du second degré les deux trinômes d'—Kr+r, a +5x+i, qui seront équivalents aux deux produits

Dans un autre article, je montrerai comment le théorème V se lie à quelques propositions démontrées par M. Kummer, dans le Volume XXX du Journal de M. Crelle.

TuéoriE DES NOMBRES. — Mémoire sur les racines primitives des équivalences binômes correspondantes à des modules quelconques, premuers ou non premiers, et sur les grands avantages que présente la consideration de ces racines, dans les questions de nombres, surtout en fournissant le moyen d'établir la théorie nouvelle des iNbiCES MoDuLAIRES des

polynômes radicaux.