C.R., T. XXV, p. 37 (12 juillet

Les équivalences relatives à des modules premiers ne sont pas les. seules qui puissent être employées avec avantage dans la théorie des nombres, et l’on peut établir, pour les équivalences relatives à des modules quelconques, des propositions générales, entre lesquelles on doit surtout distinguer celles qui se rapportent aux équivalences binômes. En effet, comme on le verra dans ce Mémoire, la considération des racines des équivalences binômes à modules quelconques est éminemment utile dans la recherche des propriétés les plus importantes des polynômes radicaux. Pour abréger, je me bornerai à indiquer succinctement les résultats les plus remarquables auxquels je suis parvenu, me réservant de publier bientôt les développements de ce travail dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématiques.

$ 1. — Sur les équivalences relatives à des modules quelconques premiers ow non premiers.

Parmi les théorèmes qui se rapportent à des équivalences de forme quelconque, on doit distinguer le suivant, qu’il est facile de démontrer, et qui subsiste, quel que soit le module.

TuéorèmE [. — Les lettres m, n, 1 désignant trois nombres entiers quelconques, nommons f(x) une fonction entière de x, du degré n et à coef-

Jicients entiers. Soient d’ailleurs To Ts 9 T'in—1 m racines DISTINCTES de l’équivalence (1) | f(x) = 0 (mod. TI), c'est-à-dire m racines qui, divisées par le module X, fournissent des restes distincts. Si les différences entre les racines r,, r,, ...,r,, ont toutes

pour valeurs numériques des nombres premiers à 1, la formule (1) entrai-

nera la suivante

(2) f(æ)=(xz—ro)(x—r)...(x —r» 1) F(x) (mod.l1),

F(æ) étant une nouvelle foncuon entière et à coefficients entiers, dont le degré sera égal ou inférieur à n — m.

En supposant successivement » — n et m > n, on déduit immédiatement du théorème I les deux propositions suivantes :

THÉORÈME IT. — Sotent f(x) une fonction entière de x, du degré n, et

To lis Pis ki n racines distinctes de l “équivalence f(x) = 0 (mod.T);

st les différences entre ces racines sont des nombres premiers à 1, on

aura

(3) f(x)=k(x—-r)(x—r;)...(x — rh) (mod. I),

# désignant une constante dont la valeur sera

(4) tete Re (mod. I).

left es Pi THÉéoRÈME IT. — Soient f(x) une fonction entière de x, du degré n, et l'os Tu se ds 5 list m racines distinctes de l’équivalence (1) f(x) =0o (mod. FE);

sr, les différences entre ces racines étant des nombres premiers à X, on à m>n, l’équivalence (1) subsistera, quel que soit n.

Il est bon d'observer que si, r étant une racine quelconque de l’'équivalence (1), on attribue à 0 une valeur entière quelconque, les deux quantités

r, r +061 ne seront pas deux racines distinctes, puisque ces deux quantités, divisées par I, fourniront le même reste. Néanmoins, si l’on substitue successivement ces deux quantités à la place de æ, dans le rapport

les deux valeurs entières que recevra ce rapport, savoir

Ke: Ï pourront n'être pas équivalentes suivant le module EL. En effet, la seconde de ces deux valeurs, divisée par [, fournira le même reste que l'expression

os PE EL

et cette expression pourra devenir équivalente, suivant le module F, à