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EXTRAIT Ne 371. 327

un nombre entier quelconque, si f’(r) est premier à I. Il y a plus: pour que l'expression dont il s’agit devienne équivalente, suivant le module I, à un entier donné /, il suffira que la fonction

étant réduite à sa plus simple expression, acquière un dénominateur premier à [. En conséquence, on peut énoncer la proposition sui-

vante :

THÉORÈME IV. — Sotent r une racine quelconque de | ‘équivalence f(z)= 0 (mod. I),

et l'un nombre entier donné. Si le rapport

étant réduit à sa plus simple expression, acquiert un dénominateur qui

sou premier au module 1, alors il suffira de poser pire)

: | I (5) = EG) (mod. I),

puis de faire croître r de O1 dans le rapport

pour que ce rapport devienne équivalent à l, suivant le module 1.

En réduisant / à zéro, on déduira du théorème IV la proposition suivante :

THÉORÈME V. — Soit r une racine quelconque de l “équivalence

f(x) =0o (mod. [).

St le rapport

étant réduit à sa plus simple expression, acquiert un dénominateur qui

soit premier à 1, alors il suffira de prendre

(6) bu (r

f Tf'(r) (mod. [),

puis de faire croître r de OX, pour que z=r#+061I devienne une racine de l’équivalence f(x) = 0 (mod. F).

Ajoutons que la condition énoncée sera toujours satisfaite, si f’(r) est premier à I.

On établira de la même manière le théorème plus général dont voici

l'énoncé :

Taéorème VI. — Soit r une racine de l'équivalence f(æ)=0 (mod. [);

les valeurs de r', r",r", ..., qui seront déterminées à l'aide des formules

Fe. f(r) ; (7) = [Fo (mod. I), r'=r + 61, (672 (4 ! 1 T2 s ! k , Û 2 (8) 0'= BF tr) (mod. I), era Ur,

s'il est possible d'y satisfaire, seront respectiwement racines des équiwa-

lences (9) f(z)=o (mod. F), (10) f(x) =0 (mod. EF),

el seront même, pour ces équivalences, les seules racines correspondantes à la racine r de l'équivalence (1). Ajoutons que l’on pourra toujours sattsfaire aux formules (7) et (8), si f’(r) est premuer à 1.

EXTRAIT N° 371. 329 On peut encore déduire du théorème V la proposition suivante :

TnéorÈMe VIT. — Sorent f(x), F(x) deux fonctions entières de x, à

coefficients entiers, el r une racine quelconque de l’équivalence f(x) =0o (mod. 1).

Supposons d'ailleurs que l’on ait, pour une valeur entière quelconque de +,

St f"(r) est premier à 1, alors, en supposant la valeur de 0 déterminée par

l'équation (6), on aura

(12) + 0F'(r)=0 (mod. F).

Dans le cas où le module I se réduit à un nombre premier p, et où l’on connaît » racines

los li ses En de l’équivalence (1), alors, en supposant que cette équivalence n’est pas une de celles qui subsistent pour toute valeur entière de æ, et que

“les différentes racines

los ris LE Nr à Phi

sont distinctes les unes des autres, on tire de la formule (3), jointe à la formule (1),

(13Y:; (æ—r;)(æ—r;)...(æ—-r,;1)=0 (mod. p); et, comme p ne peut diviser le produit (æ—ro)(æ—r;)...(X — Ly 1)

sans diviser l’un de ses facteurs, la formule (13) entraine évidemment la proposition suivante :

TuéorÈème VII. — Sr le module 1 se réduit à un nombre premier p, et si

l’équivalence.

(14) f(x) =0 (mod. p), CEuvres de C.—S.I,t.xX. 42

élant de degré n, n’est pas une de celles qui subsistent pour toute valeur

de x, cette équivalence ne pourra pas offrir plus de n racines distinctes. Du théorème VITE, joint au VI, on déduit encore le suivant : Tuéorème IX. — St le module 1 se réduit à une puissance entière p?

d’un nombre premuer p, et st l’équivalence

(15) f(æ)=0 (mod.p}),

étant du degré n, n'est pas une de celles qui subsistent pour toute valeur

entière de x, cette équivalence n'offrira pas plus de n racines distinctes. Enfin, on établira sans peine la proposition suivante :

Tnéorème X. — Concevons que, le module 1 étant décomposé en fac- Leurs premiers, On nomme p, q, .… ceux de ces facteurs qui sont inégaux,

el posons, en conséquence, (16) 1 prah...,

À, u, ... élant des nombres entiers. Si l’on désigne par r' une racine de l’équivalence | f(x) = (mod. p}),

par r” une racine de l’équivalence

correspondra une seule racine r de ‘équivalence f(x) = 0 (mod. I);

el, pour obtenir cette derniére racine, il suffira de chercher le nombre qui, divisé par p}, ou par q", ..., donnera pour reste, dans le premier cas, r', dans le second cas, r”; etc. Par suite, si l’on nomme n le degré de f(x), et 1 le nombre des facteurs premiers inégaux, p, q, ... du module X, le nombre des racines distinctes de la formule (1) sera égal ou inférieur