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$S IE. — Applications diverses des principes exposés dans le premier paragraphe.
Pour ne pas trop allonger cet article, je me bornerai à indiquer ici quelques-uns des résultats auxquels on arrive quand on applique les principes ci-dessus exposés aux équivalences binômes et à la théorie des polynômes radicaux.
Considérons d’abord une équivalence binôme relative à un module quelconque et de la forme
(1) FLE à (mod. I).
On satisfera toujours à cette équivalence en posant æ — 1. Si on la vérifie encore en posant x —r, elle aura pour racine chacun des termes de la suite RU PT a TT,
et tous ces termes seront autant de racines distinctes, si r— 1 est premier à [, pour toute valeur de inférieure à ». Alors r sera ce que j'appellerai une racine primitive de l’équivalence donnée.
Concevons maintenant que, le module 1 étant décomposé en facteurs premiers p, q, ..., on ait
(2) mar...
Si les facteurs p, q, ... sont tous de la forme 2æ +1, on pourra trouver des nombres
propres à représenter des racines primitives des équivalences
| æ'—1=0 (mod.p}),
æ—1=0 (mod. g“),
| UNE due ele e à 6 4 à ,
et alors, pour chaque système de valeurs de r’, r”, on obtiendra une racine primitive r de la formule (1), en cherchant un nombre qui, divisé par p}, par g, ..…., donne pour reste, dans le premier cas, r’,
dans le second cas, r”, .... Si, au contraire, les facteurs p, q ne sont pas tous de la forme 2x + 1, quelques-unes des équivalences (3) cesseront d'offrir des racines primitives réelles, et il en sera de même de la formule (1).
Soit maintenant p une racine primitive de l’équation
On pourra former avec les puissances de cette racine des polynômes radicaux à coeflicients entiers et construire les factorielles correspondantes. Cela posé, en supposant d’abord ces factorielles décomposables en facteurs premiers de la forme næ + 1, et, en prenant pour x un nombre premier et impair, on déduira des principes exposés dans le $S T les propositions suivantes :
TnÉéoORÈME EL. — Sotent n un nombre entier quelconque, r une racine primiive de la formule (1), et l'un module décomposable en facteurs premiers qui soient tous de la forme næx + 1. Soit encore à une racine primi-
tive de l'équation (4) æ'—1—0,
el Supposons — o(p)Xx(b),
o(p), (eo) étant deux polynômes radicaux à coefficients entiers. Enfin,
l'élant l’un quelconque des nombres
SERIE Prat, designons par 7, le plus grand commun diviseur des deux quantités I, o(r?), et par Y, le plus grand commun diviseur des deux quantités FE Cu à On aura, pour chacune des valeurs de 1,
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Taéorème IT. — 7» étant un nombre entier quelconque, soient © une racine primitive de l'équation (4), et f(2), F(2) deux fonctions entières de 2 à coefficients entiers. Soient encore À, B les factorielles correspondantes
aux deux polynômes radicaux fe), F(2), en sorte que l’on ait
(3) A=Nf(p),, B—NF(p),
et nommons 1 l’un quelconque, par exemple le plus petit des nombres qui sont divisibles à la fois par À et B; puis, en supposant le nombre 1 décomposable en facteurs premiers qui soient tous de la forme nx +1, nommons r une racine primitive de l’équivalence (1). Concevons enfin que,
l'étant l’un quelconque des nombres ST CA à R=t, l’on nomme c, le | plus grand commun diwviseur des entiers 1 CfCr}, et C, le plus grand commun diviseur des entiers
cr,
St F(o) est divisible par (2), alors aussi C, sera toujours divisible par c,; et réciproquement, st C, est toujours divisible par c,, F(2) sera divisible par Ke).
TaéorÈème IT. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème
précédent, si l’on a constamment C; — c,, le rapport de F(5) à f(2) sera
un diviseur radical de l'unité.
Dans un autre article, nous montrerons comment ces derniers théorèmes peuvent être généralisés à l’aide de la considération des racines symboliques des équivalences binômes.
THÉORIE DES NOMBRES. — Mémoire sur la décomposition des nombres ù entiers en facteurs radicaux.
