C. R:, T. XXV, p. 46 (12 juillet

J'ai remarqué, dans le précédent Mémoire, que la considération des racines primitives des équivalences binômes à modules quelconques, premiers ou non premiers, est éminemment utile, quand on se propose de découvrir les propriétés générales des polynômes radicaux. Mais, en cherchant à tirer parti de cette remarque, je ne m'attendais pas que mes recherches me conduiraient à des méthodes de solution directes pour l’une des questions les plus épineuses de la théorie des nombres, je veux dire pour la décomposition des nombres entiers en facteurs radicaux. C’est pourtant ce qui est arrivé. L'importance de ce résultat me donne lieu d’espérer que les géomètres voudront bien encore accueillir, avec leur bienveillance accoutumée, le nouveau travail que j'ai l'honneur de présenter aujourd’hui à l’Académie.

Les méthodes de solution que j'ai obtenues se fondent sur la considération des indices modulaires des polynômes radicaux. Pour les bien comprendre, il est donc nécessaire d'expliquer en premier lieu en quoi consistent ces indices. Entrons, à ce sujet, dans quelques détails.

S LE — Sur les indices modulaires des polynômes radicaux.

Soient

7 un nombre entier quelconque; l'un module entier quelconque; r une racine primitive de l’équivalence

(1) æi—1=0 (mod. I),

, v “ Ë / en sorte que r— 1 soit premier à I, tant que l’on a /<7r. Alors on

EXTRAIT N° 372. 339 aura, quel que soit », (2) M—1=(2+-1)(æ— r)...(æ—r"-1). (mod. 1).

Sdiént maintenant Fat D nb hein Ra

les entiers inférieurs à 2, mais premiers à x; et nommons » le nombre de ces entiers. Enfin, posons

(3) Ez phgt:.;,

P, q étant les facteurs premiers et inégaux de g, et soit : le nombre de ces facteurs. Le nombre total des racines de l’équivalence (1) sera », et le nombre de ses racines primitives sera mr. D'ailleurs, r étant l’une de ces racines primitives, les termes de la suite

(4) ks F3 re, Es ri représenteront z racines distinctes, et les termes de la suite (5) ë, Frs, r?, Ve prb, ra, ri,

m racines primitives de l’équivalence (1). Ajoutons que ces dernières représenteront encore les zx racines primitives de chacune des équivalences

(6) æ—1=0 (mod.p}), æ"—1=0 (mod.g“), it, ou même de chacune des équivalences (7) Z'—1=0 (mod.p), æ'—1=0 (mod.g),

Il en résulte que, pour obtenir une racine primitive r de l'équivalence (1), il suffit de chercher un nombre qui, divisé par p}, par g*, ..., donne successivement pour restes

r', r”, ... étant des racines primitives des formules (6) dont la solution se déduit immédiatement de celles des formules (3).

Ainsi chaque racine primitive r de la formule (1) correspond à un système déterminé de racines primitives des formules (7), et chacune de ces dernières racines pourrait même être représentée par r.

Par conséquent, le nombre 2 étant donné, si l’on forme une Table qui offre des valeurs de r, relatives à des valeurs du module I représentées par des nombres premiers pour lesquels on puisse satisfaire à l’équivalence (1), les valeurs de r, relatives à des modules composés pour lesquels se vérifiera la même équivalence, seront complètement déterminées par la seule condition de correspondre aux valeurs inscrites dans la Table, et pourront être censées former avec celles-ci un système unique de valeurs de 7 relatives aux divers modules premiers ou non premiers. Dans ce qui suit, nous supposerons que les diverses racines primitives relatives à divers modules font toujours partie d’un semblable système; en sorte qu'on pourrait les réduire toutes à un seul et même nombre, si l’on prenait pour module le plus petit nombre qui se laisse diviser en même temps par tous les modules que l’on considère.

Soient maintenant p une racine primitive de l'équation (8) æ!—1—=0, et f(£) un polynôme radical formé avec les puissances de cette racine. Alors, r étant une racine primitive de l’équivalence (1) relative au module I, le plus grand commun diviseur des deux nombres

É cet Tr)

sera ce que nous appellerons l'indice modulaire correspondant à l'indice L. Si l’on introduit dans ce module de nouveaux facteurs, l'indice dont il s’agit pourra seulement croître, mais sans jamais dépasser une certaine limite, qui dépendra de la forme du polynôme f(p), et que nous nommerons l'éndice maximum. Si A représente un nombre entier dont f(2) soit diviseur, l'indice maximum ne différera pas de l'indice modulaire qu’on obtiendra en posant I — A. Enfin, si l'on nomme O la factorielle correspondante au polynôme f(p), en sorte qu'on ait

(9) O—Nf(p)—=f(p)f(pt)...f(p"2) F(p"—"),

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on pourra évidemment réduire A à @; par conséquent, l'indice maximum ne différera pas de l'indice modulaire qu’on obtiendra en prenant pour module le nombre 06.

On peut établir, pour les indices modulaires, un grand nombre de propositions remarquables, entre lesquelles je citerai les suivantes :

Tuéorème 1. — Sotent m et 1 deux entiers quelconques dont le second ait pour facteurs les nombres premiers et inégaux p, q, ..., élevés à cer-

laines puissances, en sorte qu'on ait RE LT So, d’ailleurs, p une racine primitive de l'équation RE AR Enfin, soit f(o) un polynôme radical, & coefficients entiers, formé avec les puissances de p. L'indice modulaire du polynôme {(2), pour le mo-

dule Y, sera le produit des indices modulaires du méme polynôme corres-

pondants aux modules p}, g", ..…..

THÉORÈME IT, — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, st un nombre entier À est le produit de plusieurs polynômes radicaux |

pe), xp} Y(p), -.., en sorte qu'on ail

et si l’on suppose le module X égal à À, ou à un multiple de À, alors, en nommant

les indices modulaires des polynômes pte), Xe), Ye); .…, on aura encore

(11) Astetve:.:

OEuvres de C.— S.I,1t.xX. 43

TnéorèME LT. — Supposons que le polynôme radical f( 2), à coefficients entiers, ait êlé décomposé en plusieurs facteurs radicaux 3 p), AP);

Yo), ..., en Sorle qu'on ait (49 f(e) = pp) x(P) Y(p)...,

el nommons

les indices MODULAIRES MAXIMA des polynômes

f(p), pp), x(ph YCphs -..3

on aura (13) ÉHmes 22 fs NPA SPEE Tuéorème IV. — Soit l'un quelconque des entiers inférieurs à n et pre-

miers à n. Si, pour chacune des m valeurs de [, l'indice maximum du polynôme f(p!) est divisible par un certain nombre entier k, le polynôme f(o) sera diwisible par k.

TuéorèMe V. — Soit l'un quelconque des entiers inférieurs à n et premuers à n. Soient, de plus, Fo), o(p) deux polynômes radicaux, à coef-

ficients entiers, et nommons Cy cr

les indices MODULAIRES MAxIMA des polynômes f(p°), g(p°).

St, pour chacune des m valeurs de [, l'indice C, est divisible par l'indice c,, le polynôme (+) sera divisible par (2); et réciproquement, si f(p) est divisible par 2(0), l'indice C, sera divisible par c,.

Taéorème VI. — Les mémes choses étant posées que dans le théorème

précédent, si l’on a, pour chacune des m valeurs de l, Ci= cr

le rapport des deux polynômes F(»), 9(e) sera un diviseur de l'unité.

Réciproquement, si ce rapport est un diviseur de l'unité, on aura

CG Cp.

PE Lire Se

IT. — Sur la décomposition des nombres entiers en facteurs radicaux.

Soient z un nombre entier quelconque, 9 une racine imaginaire de l'équation

et f(p) un polynôme radical, à coefficients entiers, formé avec les puissances de ©. Soient encore

1, da, D, ..., R—b, n—a, n—1

les entiers inférieurs à x, mais premiers à z, et rm» le nombre de ces entiers. Enfin, désignons par @ la factorielle

N f(o) pas f(p) f(p2) f(p°). an f(o—b) (pa) f(pr-1), correspondante au polynôme f(2). L'équation (2) i O—Nf()

fournira immédiatement la valeur du nombre entier @, quand on connaîtra la valeur de f(o). Mais le problème inverse, qui consiste à trouver la valeur de f(2), en supposant connue la valeur de 6, est tout à la fois une des questions les plus difficiles et les plus importantes de la théorie des nombres. Après quelques recherches, je suis parvenu à obtenir, pour la solution de ce problème, de nouvelles méthodes que je vais indiquer en peu de mots.

Observons d’abord que, en vertu de l’équation du degré m, à laquelle satisfait toute racine primitive p de la formule (1), un polynôme radical f(o), à coefficients entiers, pourra toujours être réduit à un polynôme du degré 7» — 1, ou, ce qui vaudra mieux encore, à un polynôme du degré », qui n’offrira pas de terme indépendant de p, et qui sera en conséquence de la forme

(3) f(p) = ap + a30+...+ amp".

Dans ce qui va suivre, nous supposerons cette réduction toujours

effectuée.

Observons encore que, si l’on nomme (ep) un polynôme radical quelconque réduit à la forme (3), en sorte qu’on ait

o(p) rs Cip v Cap? +. 8 + CmP"s

Cys Cos .., Cm étant des constantes déterminées, l’équation (4) o(p)—=0o entraînera toujours les »# équations (5) NF, UE 0;, LS Ci T0 Ce dernier principe est précisément celui qui fournit la solution de la question proposée. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

D'abord la question qui nous occupe pourra être aisément résolue, pour une valeur quelconque de 6, si elle peut être résolue dans le cas où l’on remplace © par l’un quelconque de ses facteurs premiers. En

conséquence, il suffira d'examiner le cas où @ se réduit à un nombre premier p. Alors la formule (2) deviendra

(6) p=—Nf(p), f(2) étant toujours de la forme qu'indique l'équation (3); et si, en nommant / un quelconque des entiers inférieurs à 7, mais premiers à n, on pose généralement

pi {(p'), la formule (6) donnera

(7) P = P1 Pa Ph: Pn-b Pn-a Pn-1+

Cela posé, le problème à résoudre se réduira évidemment à trouver

les valeurs des m coefficients (8) dj, A9, As Es à à m2 Ayn—1 Zn

compris dans la fonction f(2); et l’on peut ajouter qu'il sera facile d'obtenir ces valeurs, si l’on parvient à déterminer celles des 72 fac-

EXTRAIT N° 372. 341 teurs radicaux (9) P» Pas Pb; CE ET Pn—b» Pn-as Pn-1:

Ce que nous avons à faire, c’est donc de chercher à établir des équations desquelles on puisse déduire les valeurs des coeflicients &,, ....4,,o0u des facteurs radicaux D,, Das Ds 24m Pain Pares Pn-1- Or évidemment la formule (6) ou (7) ne fournit qu’une seule des équations demandées. Mais la question pourra être résolue à l’aide des considérations suivantes.

La suite des nombres

M M RE na, n—1 étant décomposée en deux autres suites, dont la première soit de la

forme

et la seconde de la forme

prenons (10) F(p)= pi PaPo..., on aura

(11) LEE jen LT PONT POCT : PORC

et la formule (3) donnera (12) P=F(p) E(p"t).

Or supposons que, par une méthode quelconque, l’on soit parvenu à déterminer la valeur de F(p). L’équation (10) ou (11), étant de la forme (4), entraînera, en vertu du principe énoncé plus haut, des équations analogues aux formules (5); et de ces équations se déduiront les valeurs des coefficients @,, a,, ..., a, qui, eu égard à la nature du problème, seront généralement en nombre infini. On devra seulement choisir a, b, ..., de manière que le nombre des valeurs de a,, 4, ..., a, renfermées entre des limites quelconques, soit le plus petit possible. La question se trouve donc réduite à la détermination de l’une des valeurs de F(2) ou de F(9°"}, qui vérifient l’équa-

tion (ro) ou (11), quand les nombres a, b, ... remplissent la condition que nous venons d’énoncer, D'ailleurs cette détermination peut s’effectuer à l’aide de méthodes déjà connues, lorsqu'on peut effectivement satisfaire au problème par des valeurs entières de a,, Ays +. Ams Ce Qui suppose que le nombre premier p est de la forme zx +1. Dans le cas spécial où p se réduit précisément à l'unité, on a, comme l’a prouvé M. Kummer,

(13) F(b) = tes

{pouvant être un nombre entier quelconque. Ajoutons que, si p est un nombre premier de la forme næ + 1, mais différant de l'unité, on pourra trouver des valeurs convenables de la fonction F(b) ou F(97"), à l’aide des théorèmes établis dans mes précédents Mémoires (voir le Bulletin de M. de Férussac de 1829, et le Tome XVII des Mémnotres de l’Acadèmie) ("). On pourra d’ailleurs, à l’aide de la théorie des indices modulaires établis dans le précédent paragraphe, déterminer facilement les valeurs des nombres 1,a,b,...our—1,n—a,n—#b,..., qui correspondront à une valeur donnée de F() ou de F(p=").

Au reste, à la recherche des valeurs des coefficients a,, &,, ..., a, on peut, avec avantage, comme on l’a déjà dit, substituer la recherche des facteurs radicaux p,, pas PL , en se servant des diverses formes que prend l'équation (10) quand on y remplace p par l’un quelconque des termes de la suite

ae —1 | P 6e pb”, és p" à, p" a, p" 2

Pour donner un exemple de ce genre de caleul, supposons, en particulier, 2 — 5. Alors on aura

(14) P = P: Pa Ps Pis

et, à l'aide des méthodes exposées dans mes précédents Mémoires, on pourra déterminer la valeur de chacun des quatre produits

PiPas P2Pss PsP1s PsPs-

(1) OŒEuvres de Cauchy, S. U, T. IH, et S. EH, T. HI.

EXTRAIT N° 372. 343 Supposons que l’on ait effectivement calculé la valeur F(p) du produit p, pa. Alors-on aura

MP F(D}, Demi F(p), Psp —=Æ(0} : pePp—=KF(pt);: puis on en conclura (16). (pit Pi)pa=F(p) +F(p?), (Ppi+ Pi)Ps= F(p°) + F(e*);

et comme, en supposant les fonctions f(o), F(p) réduites à la forme qu'indique l’équation (3), on aura |

L(1)+f(0) + (pe?) + Ê(p) + F(p}=0, F(1) + E(p) + F(p?) + F(p°) + F(p*) = 0,

il est clair que, si l’on pose, pour abréger, u——f(1), c——"F(1),

on aura, non seulement PiTPa+ ps FPiZ= VU;

mais encore, en vertu des formules (16), (Pi+ Ps) (pa+ Ps) = cC.

Cela posé, les sommes p, + p,, p, + p, seront les deux racines æ,, +, de l’équation | (17) L'—uUX +C—=O.

Ces deux sommes devant d’ailleurs être des fonctions entières de

AS AR dE le carré de leur différence devra être de la forme 56?, 6 étant un nombre entier; et, comme la formule (17) donnera

(ti— za) = qu — 0,

il est clair que les nombres entiers u, e devront satisfaire à l'équation indéterminée

(18) Eu?— 5v?=c.

Cette dernière équation étant résolue, on connaîtra les valeurs de Pa + Pas Pa + P33 puis, à l’aide des formules (16), les valeurs de p,, p;, desquelles on déduira immédiatement les valeurs de p,, p..

Dans un autre article, je développerai les principes que je viens d'établir, et je montrerai, d’une part, comment on peut les généraliser et les étendre par la considération des racines symboliques, au cas même où les équivalences binômes n’offrent pas de racines réelles, d'autre part, comment on peut éviter la résolution d’équivalences analogues à la formule (17). Enfin, je comparerai les résultats de mon analyse avec ceux qu’a obtenus M. Kummer.

THÉORIE DES NOMBRES. — Memoire sur les indices modulaires des poly-

nômes radicaux que fournissent les puissances et produits des racines

de la résolvante d’une équation binôme.